下面是小编为大家整理的高中数学公式(完整版)（全文）,供大家参考。
高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B U UA B C B C A
UA C B UC A B R
2．集合1 2{ , , , }na a a 的子集个数共有 2 n
个；真子集有 2 n –1 个；非空子集有 2 n
–1 个；非空的真子集有 2 n –2个. 3.充要条件
（1）充分条件：若 p q ，则 p 是 q 充分条件. （2）必要条件：若 q p ，则 p 是 q 必要条件. （3）充要条件：若 p q ，且 q p ，则 p 是 q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设 2 1 2 1, , x x b a x x 那么 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0 x x f x f x b a x fx xx f x f, ) ( 0) ( ) (2 12 1在 上是增函数； 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0 x x f x f x b a x fx xx f x f, ) ( 0) ( ) (2 12 1在 上是减函数. (2)设函数 ) (x f y 在某个区间内可导，如果 0 ) ( xf ，则 ) (x f 为增函数；如果 0 ) ( xf ，则 ) (x f 为减函数. 5.如果函数 ) (x f 和 ) (x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 ) ( ) ( x g x f 也是减函数; 如果函数) (u f y 和 ) (x g u 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 )] ( [ x g f y 是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数 ) (x f y ( R x ), ) ( ) ( x b f a x f 恒成立,则函数 ) (x f 的对称轴是函数2b ax ;两个函数 ) ( a x f y 与 ) ( x b f y
的图象关于直线2b ax 对称. 8.几个函数方程的周期(约定 a>0) （1）
) ( ) ( a x f x f ，则 ) (x f 的周期 T=a； （2）， ) 0 ) ( () (1) ( x fx fa x f ，或1( )( )f x af x ( ( ) 0) f x ,则 ) (x f 的周期 T=2a； 9.分数指数幂
(1)1mnn maa （ 0, , a m n N ，且 1 n ）.(2)1mnmnaa （ 0, , a m n N ，且 1 n ）. 10．根式的性质
（1）
( ) nna a .（2）当 n 为奇数时，n na a ；当 n 为偶数时，, 0| |, 0n na aa aa a . 11．有理指数幂的运算性质 (1)
( 0, , )r s r sa a a a r s Q .(2) ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s Q .(3) ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r Q . 12.指数式与对数式的互化式
logba Nb a N ( 0, 1, 0) a a N . ①.负数和零没有对数，②.1 的对数等于 0：
0 1 log a，③.底的对数等于 1：
1 log aa， ④.积的对数：
N M MNa a alog log ) ( log ，商的对数：
N MNMa a alog log log ，
幂的对数：
M n Manalog log ； bmnbana mlog log
13.对数的换底公式 logloglogmamNNa
( 0 a ,且 1 a , 0 m ,且 1 m ,
0 N ). 推论 log logmnaanb bm ( 0 a ,且 1 a , , 0 m n ,且 1 m , 1 n ,
0 N ). 15.11, 1, 2nn ns nas s n ( 数列 { }na 的前 n 项的和为1 2 n ns a a a ). 16.等差数列的通项公式*1 1( 1) ( )na a n d dn a d n N ； 其前 n 项和公式为1( )2nnn a as1( 1)2n nna d 211( )2 2dn a d n . 17.等比数列的通项公式1 *11( )n nnaa a q q n Nq ； 其前 n 项的和公式为11(1 ), 11, 1nna qqs qna q 或11, 11, 1nna a qqq sna q . 18.同角三角函数的基本关系式
2 2sin cos 1 ， tan =cossin 19 正弦、余弦的诱导公式 212( 1) sin ,sin( )2( 1) s ,nnnco
20 和角与差角公式 sin( ) sin cos cos sin ; cos( ) cos cos sin sin ; tan tantan( )1 tan tan . sin cos a b =2 2sin( ) a b (辅助角 所在象限由点 ( , ) a b 的象限决定, tanba
).
21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴ sin2 2sin cos ． ⑵2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin （21 cos2cos2 ，21 cos2sin2 ）． ⑶22tantan21 tan． 22.三角函数的周期公式
函数 sin( ) y x ，x∈R 及函数 cos( ) y x ，x∈R(A,ω, 为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期2T ；函数 tan( ) y x ， ,2x k k Z (A,ω, 为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期 T . 23.正弦定理
(n 为偶数)
(n 为奇数)
2sin sin sina b cRA B C . 24.余弦定理 2 2 22 cos a b c bc A ;2 2 22 cos b c a ca B ;2 2 22 cos c a b ab C . 25.面积定理1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B （2）. 26.三角形内角和定理
在△ABC 中，有 ( ) A B C C A B 2 2 2C A B 2 2 2( ) C A B . 27.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa a)=(λμ)a a;(2)第一分配律：(λ+μ)a a=λa a+μ a;(3)第二分配律：λ(a a+b b)=λa a+λb b. 28.向量的数量积的运算律：
(1)
a a · b= b· a a
（交换律）;(2)（ a a ）
）· b= （ a a ·b b ）= = a a ·b b=
a a ·（ b b）;(3)（ a a + +b b）
）· c=
a a
· c +b· c. 30．向量平行的坐标表示
设 a a=1 1( , ) x y ,b b=2 2( , ) x y ，且 b b 0 0，则 a a b(b 0)1 2 2 10 x y x y .
31.
a a 与 b b 的数量积(或内积) a a ·b b=| a a ||b b|cosθ．
32.数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 33.平面向量的坐标运算 (1)设 a a=1 1( , ) x y ,b b=2 2( , ) x y ，则 a+b=1 2 1 2( , ) x x y y . (2)设 a a=1 1( , ) x y ,b b=2 2( , ) x y ，则 a a- - b=1 2 1 2( , ) x x y y .
(3)设 A1 1( , ) x y ，B2 2( , ) x y ,则2 1 2 1( , ) AB OB OA x x y y . (4)设 a a= ( , ), x y R ，则 a= ( , ) x y . .
(5)设 a a=1 1( , ) x y ,b b=2 2( , ) x y ，则 a a· b=1 2 1 2( ) x x y y . 34.两向量的夹角 公式1 2 1 22 2 2 21 1 2 2cosx x y yx y x y ( a a =1 1( , ) x y ,b b=2 2( , ) x y ). 35.平面两点间的距离公式 , A Bd = | | AB AB AB
2 22 1 2 1( ) ( ) x x y y (A1 1( , ) x y ，B2 2( , ) x y ). 36.向量的平行与垂直
设 a a=1 1( , ) x y ,b b=2 2( , ) x y ，且 b b 0 0，则 A A||b b b b=λa a
1 2 2 10 x y x y . a a b(a 0) a a ·b b= =01 2 1 20 x x y y . 37.三角形的重心坐标公式
△ ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为1 1A(x ,y ) 、2 2B(x ,y ) 、3 3C(x ,y ) , 则 △ ABC 的 重 心 的 坐 标 是1 2 3 1 2 3( , )3 3x x x y y yG . 设 O 为 ABC 所在平面上一点，角 , , A B C 所对边长分别为 , , a b c ，则 （1）
O 为 ABC 的外心2 2 2OA OB OC .（2）
O 为 ABC 的重心 0 OA OB OC . （3）
O 为 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA . 38.常用不等式：
（1）
, a b R 2 22 a b ab (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． （2）
, a b R 2a bab (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． （3）
b a b a b a .
39 已知 y x, 都是正数，则有（1）若积 xy 是定值 p ，则当 y x 时和 y x 有最小值 p 2 ； （2）若和 y x 是定值 s ，则当 y x 时积 xy 有最大值241s . 40.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时，有22x a x a a x a . 2 2x a x a x a 或 x a . 41.斜率公式 2 12 1y ykx x（1 1 1( , ) P x y 、2 2 2( , ) P x y ）. 42.直线的五种方程
（1）点斜式 1 1( ) y y k x x
(直线 l 过点1 1 1( , ) P x y ，且斜率为 k )． （2）斜截式 y kx b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). （3）两点式 1 12 1 2 1y y x xy y x x (1 2y y )(1 1 1( , ) P x y 、2 2 2( , ) P x y
(1 2x x )). (4)截距式
1x ya b ( a b 、 分别为直线的横、纵截距， 0 a b 、 )
（5）一般式 0 Ax By C (其中 A、B 不同时为 0). 43.两条直线的平行和垂直
(1)若1 1 1: l y k x b ，2 2 2: l y k x b ①1 2 1 2 1 2|| , l l k k b b ; ②1 2 1 21 l l k k . (2)若1 1 1 1: 0 l Ax B y C ,2 2 2 2: 0 l A x B y C ,且 A 1 、A 2 、B 1 、B 2 都不为零, ①1 1 11 22 2 2||A B Cl lA B C ；②1 2 1 2 1 20 l l AA BB ； (1 1 1 1: 0 l Ax B y C ,2 2 2 2: 0 l A x B y C ,1 2 1 20 AA BB ). 直线1 2l l 时，直线 l 1 与 l 2 的夹角是2. 45.点到直线的距离 0 02 2| | Ax By CdA B (点0 0( , ) P x y ,直线 l ：
0 Ax By C ).
46. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程
2 2 2( ) ( ) x a y b r . （2）圆的一般方程
2 20 x y Dx Ey F (2 24 D E F ＞0). 47.直线与圆的位置关系 直线 0 C By Ax 与圆2 2 2) ( ) ( r b y a x 的位置关系有三种: 0 相离 r d ; 0 相切 r d ; 0 相交 r d .其中2 2B AC Bb Aad . 48.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O 1 ，O 2 ，半径分别为 r 1 ，r 2 ， d O O 2 1 条公切线 外离 42 1 r r d ; 条公切线 外切 32 1 r r d ; 条公切线 相交 22 1 2 1 r r d r r ; 条公切线 内切 12 1 r r d ; 无公切线 内含 2 10 r r d . 49.圆的切线方程 (1)已知圆2 20 x y Dx Ey F ．(2)已知圆2 2 2x y r ． ①过圆上的0 0 0( , ) P x y 点的切线方程为20 0x x y y r ;
50.椭圆2 22 21( 0)x ya ba b 的参数方程是cossinx ay b . 51.椭圆2 22 21( 0)x ya ba b 焦半径公式
) (21cax e PF ， ) (22xcae PF . 52．椭圆的的内外部 （1）点0 0( , ) P x y 在椭圆2 22 21( 0)x ya ba b 的内部2 20 02 21x ya b . （2）点0 0( , ) P x y 在椭圆2 22 21( 0)x ya ba b 的外部2 20 02 21x ya b . 53.双曲线2 22 21( 0, 0)x ya ba b 的焦半径公式21| ( )|aPF e xc ，22| ( )|aPF e xc . 54.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为 12222 byax 渐近线方程：2 22 20x ya b xaby . (2)若渐近线方程为 xaby 0 byax 双曲线可设为 2222byax. (3)若双曲线与 12222 byax有公共渐近线，可设为 2222byax（ 0 ，焦点在 x 轴上， 0 ，焦点在 y 轴上）. 55. 抛物线 px y 22 的焦半径公式 抛物线22 ( 0) y px p 焦半径02pCF x . 过焦点弦长 p x xpxpx CD 2 1 2 12 2. 56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 2 21 2 1 2( ) ( ) AB x x y y 或 2 2 2 22 1 1 2 1 2(1 )( ) | | 1 tan | | 1 t AB k x x x x y y co （弦端点 A ) , ( ), , (2 2 1 1y x B y x ，由方程 0 ) y , x ( Fb kx y 消去 y 得到 02 c bx ax ， 0 , 为直线 AB 的倾斜角， k 为直线的斜率）.
57(1)加法交换律：a a＋b b=b b＋a a．(2)加法结合律：(a a＋b b)＋c c=a a＋(b b＋c c)．(3)数乘分配律：λ(a a＋b b)=λa a＋λb b． 59 共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 )，a∥b 存在实数λ使 a=λb． P A B 、 、 三点共线 || AP AB AP tAB (1 ) OP t OA tOB . 60.向量的直角坐标运算 设 a a ＝1 2 3( , , ) a a a ，b b＝1 2 3( , , ) b b b 则 (1) a a ＋b b＝1 1 2 2 3 3( , , ) a b a b a b ；(2) a a －b b＝1 1 2 2 3 3( , , ) a b a b a b ；(3)λ a a ＝1 2 3( , , ) a a a
(λ∈R)； (4) a a ·b b＝1 1 2 2 3 3ab a b a b ； 61.设 A1 1 1( , , ) x y z ，B2 2 2( , , ) x y z ，则 AB OB OA = 2 1 2 1 2 1( , , ) x x y y z z . 62．空间的线线平行或垂直 设1 1 1( , , ) a x y z r，2 2 2( , , ) b x y z r，则 a b r r 0 a b r r1 2 1 2 1 20 x x y y z z . 63.夹角公式
设 a a ＝1 2 3( , , ) a a a ，b b＝1 2 3( , , ) b b b ，则 cos〈 a a ，b b〉=1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3ab a b a ba a a b b b . 64．异面直线所成角 cos |cos , | a b r r=1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2| | | || | | |x x y y z z a ba b x y z x y z r rr r
（其中 （ 0 90 o o ）为异面直线 a b ,所成角， , a br r分别表示异面直线 a b , 的方向向量）
65.直线 AB 与平面所成角 sin| || |AB marcAB m ( m 为平面 的法向量). 66.二面角 l 的平面角 cos| || |m narcm n 或 cos| || |m narcm n （ m ， n 为平面 ， 的法向量）. 134.空间两点间的距离公式
若 A1 1 1( , , ) x y z ，B2 2 2( , , ) x y z ，则 , A Bd = | | AB AB AB 2 2 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) x x y y z z . 67.球的半径是 R，则 其体积343V R ,其表面积24 S R ．
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为612a ,外接球的半径为64a . 6813V Sh 柱体（ S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高）.13V Sh 锥体（ S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高）. 69.分类计数原理（加法原理）1 2 nN m m m . 70.排列数公式
mnA = ) 1 ( ) 1 ( m n n n =！！) ( m nn.( n ， m ∈N N* ，且 mn )．注:规定 1 ! 0 . 71.组合数公式
mnC =mnmmAA=mm n n n 2 1) 1 ( ) 1 (=！
！！) ( m n mn ( n ∈N N* ， mN ，且 m n ). 72.组合数的两个性质(1)mnC =m nnC ;(2) mnC +1 mnC =mnC1 .注:规定 10nC .
155.组合恒等式（1）11m mn nn mC Cm ;（2）1m mn nnC Cn m;（3）11m mn nnC Cm ;
（4）
nrrnC0=n2 ; 73.排列数与组合数的关系m mn nA m C ！
. .
74．单条件排列以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有11mnA 种；②某（特）元不在某位有11mnmnA A （补集思想）1111 mn ...
