下面是小编为大家整理的高考数列交汇题四大题型,供大家参考。
高考数列交汇题的四大题型 文/王怀学 数列与集合交汇 例 1
已知数集{}()1212,,1,2nnAa aaaaa n=≤<<≥具有性质 P ； 对任意的 (),1i jijn≤ ≤≤，ija a 与jiaa两数中至少有一个属于 A .
(Ⅰ ) 分别判断数集{}1,3,4 与{}1,2,3,6 是否具有性质 P ， 并说明理由.
(Ⅱ ) 证明：11a = ， 且112−1112nnna−aaaaaa−+++=+++.
(Ⅰ ) 解：
∵ 3 4×与43均不属于数集{}1,3,4 ， ∴数集{}1,3,4 不具有性质 P.
∵6 6 1 2 3 6,, ,2 3 1 2 3 61 2,1 3,1 6,2 3,××, ,××都属于数集{}1,2,3,6 ， ∴数集{}1,2,3,6 具有性质 P.
(Ⅱ ) 证明：
∵121naaa≤<<<， ∴nna aA∉. 从而有1nnaAa=∈， ∴11a = .
同理，()2,3,,kna aA kn∉=，()1,2,3,,nkaA kna∈=.
∵121nnnnnnaaaaaaaa−<<<<，∴211211,,,nnnnnnnnaaaaaaaaaaa−−====. 根 据 比 例 性 质 得112−1112nnna−aaaaaa−+++=+++.
小结
数列本身由一些孤立的数组成， 它们一般具有一定的共同属性， 每一项都是确定的， 因此数列与集合建立了 一定的联系， 数列的一些概念可以用 于创新问题的描述工具， 特别是描述数列的项.
数列与函数、 导数、 不等式交汇 例2
等 比 数 列 { }na的 前n项 和 为 ，已 知 对 任 意 的,nN∈点 ( .)nn S均 在 函 数(01, ,xybr bbb r=+>≠且均为常数) 的图像上.
(Ⅰ ) 求 r 的值.
(Ⅱ ) 当 b=2 时， 记22(log1)()nbnann==∈. 求证：
对任意的 nN+∈， 不等式1212111·······1bnnbbbnbb+++>+ 成立.
(Ⅰ ) 解：
由于对任意的 nN+∈， 点 ( ,)nn S均在函数(0xybr b=+>且1, ,bb r≠均为常数) 的图像上，所以有nn Sbr=+ .
当1n = 时，11aSbr== +； 当2n ≥时，1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb−−−−=−=+ −+=−=−. 由于数
列{na } 为等比数列， 所以1r = − ， 公比为 b ， 于是有1(1)nnabb−=−.
(Ⅱ ) 证明 ：
当 b=2 时，11(1)2nnnabb−−=−=，1222(log1)2(log 21)2nnnban−=+=+=， 则 有1212nnbnbn++=， 所以12121113 5 7⋅21·······2 4 62nnbbbnbbbn++++=⋅ .
下面用数学归纳法证明不等式12121113 5 7⋅21·······1b2 4 62nnbbbnnbbn++++=⋅>+成立.
①当1n = 时， 左边=32， 右边= 2 . 由于322>， 所以不等式成立.
②假设当 nk=时不等式成立， 即12121113 5 7⋅21·······1b2 4 62kkbbbkkbbk++++=⋅>+成立， 则当1nk=+ 时， 左边=11212111113 5 7⋅21 2⋅3·······2 4 6222kkkkbbbbkkbbbbkk++++++++=⋅⋅⋅+ 2223(23)4(1)4(1) 1+11(1) 1+ +(1) 1+224(1)4(1)4(1)kkkkkkkkkkk++++++>+ ⋅===+>++++.所 以 当1nk=+ 时， 不等式也成立. 根据①②可知原不等式恒成立.
小结
数列 是定义域为正整数集(或子集) 的一类特殊的函数. 解答本题时， 同 学们要抓住数列的函数属性， 类比函数的概念、 性质和解题方法， 如点 ( .)nn S表示函数( )f nn S=图 像上的点， 数列单调性、 周期性等， 利用 导数、 不等式、 换元等求函数值域的方法来证明数列 不等式. 同时， 由于数列与自 然数有关，因此往往和不等式放缩法以及数学归纳法联系紧密.
数列与解析几何、 平面向量交汇 例 3
已知曲线22:20(1,2,)nCxnxyn−+== . 从点( 1,0)P −向曲线nC 引斜率为(0)nnk k >的切线nl ， 切点为(,)nnnP x y.
(1) 求数列{}{}nnxy与的通项公式.
(2) 证明：1352112 sin1nnnnnxxx x x⋅xxy−−⋅⋅⋅<<+.
(1) 解 ：设 直 线nl的 方 程 为) 1( +x=kyn. 将 上 式 与0222=+−ynxx联 立 得0)22 ()1 (2n2n22n=+−++kxnkxk.
∵0)1 ( 4)22 (2n2n22n=+−−=∆kknk， ∴12 +n=nkn(12 +n−n舍去) .
∵222n2n2n) 1(1+=+=nnkkx，即1+=nnxn，∴112) 1(++=+=nnnxkynnn.
(2)证明：∵121111111+=+++n−=+−nnnnxxnn，12112125331212432112531+=+−× ⋅ ⋅ ⋅ ××<−× ⋅ ⋅ ⋅ ××=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅−nnnnnxxxxn，∴nnnxxxxxx+−<⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅−1112531.
由 于nnnnxxnyx+−=+=11121， 可 令 函 数xxxfsin2)(−=， 则 有xxfcos21)("−=. 令0)("=xf， 得22cos=x. 给定区间)4, 0 (π， 则有0)("<xf， 于是可知函数)(xf在)4, 0 (π上单调递减，∴0) 0 ()(=< fxf， 即xxsin2<在)4, 0 (π恒成立.
又4311210π<≤+<n， 于是121sin2121+<+nn， 即nnnnyxxxsin211<+−.
小结
作为一种特殊的函数， “点列 ” 是数列 的一种基本特性， 同时点也是解析几何的基本元素， 把两者结合起来， 能从多 角 度考查学生驾驭数学知识的能力， 于是数列与圆锥曲线交汇成为高考试题中的热点也是很正常的事了 . 同样， 向量也引 进了 坐标形式， 若把坐标点列化， 则向量易与数列交汇. 向量与数列的交汇题形式新颖， 这类题目 更能考查学生在新情境下灵活运用 平面向量知识的能力.
数列与类比推理、 算法、 概率统计交汇 例 4
将正△ABC 分割成n2( n ≥2， n∈N) 个全等的小正三角形(图 2， 图 3 分别给出了 n=2， 3 的情形）， 在每个三角形的顶点各放置一个数， 使位于△ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于 3 时) 都分别一次成等差数列， 若顶点 A ， B ， C 处的三个数互不相同且和为 1， 记所有顶点上的数之和为 f(n) ， 则有 f(2) =2， f(3) =
， …， f(n) =
.
解
当 n=3 时 ，如 图 1 所 示 分 别 将 各 顶 点 的 数 用 小 写 字 母 表 示 ，即 由 条 件 可 知
1212121,,,abcxxab yybc zzca+ + =+=++= ++= +，1212121221122()2,2xxyyzzabcgxyxzyz+++++=+ +==+=+=+， 12121262()2gxxyyzzabc=+++++=+ +=，即12121211110(3)13233gfabcxxyyzzg==+ + +++++++= ++=而，同 理 可 得(4)5f=，363 3+31045(1)1, (2)f(1), (3)f(2), (4)f5(3),...3333333ffff= ====+==+==+ 于是可得1( )f n(1),3nf n+=−+所以 f(n) =113211(61)(2)333333nnnnn+−+++++=++.
故 f(3) =103， f(n) =16(n+1) (n+2) .
小结
本题是数列与类比推理相结合的问题. 类比推理的原理就是 “由特殊到一般”， 如本题根据 f(1) 、f(2) 、 f(3) 、 f(4) 等特殊情形， 归纳猜想一般情形1( )f n(1),3nf n+=−+这些都体现了 n 与相应的项之间的对应关系， 而这些正是数列的基本特征. 同 样， 新课程教材中新增的内 容算法也具有同 样的特征， 因此， 数列与算法、 类比推理的交汇是数列的“计数” 特征的体现.
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