投资问题数学建模5篇投资问题数学建模 投资问题摘要本次建模解决的是某公司在未来五年内的最优投资组合问题：在20亿的原始资金约束以及各个项目的投资约束下，选择最优的投资组合方下面是小编为大家整理的投资问题数学建模5篇,供大家参考。
篇一：投资问题数学建模
问题 摘要 本次建模解决的是某公司在未来五年内的最优投资组合问题：在 20 亿的原始资金约束以及各个项目的投资约束下，选择最优的投资组合方案，使得第五年末所得利润最大。为此，我们综合运用了线性规划、时间序列预测、灰色预测的方法进行求解。对于问题一：根据附录一表 1 提供的实验数据，我们建立了单目标最优化模型。综合考虑每个项目的投资规则、投资上限以及每年年初可用于投资的总金额约束，并以第五年末的利润，即第五年末的本利和与 20 亿原始资金的差值，为目标函数，建立最优化模型。通过 lingo 求得第五年末的最大利润为 153255 万元，具体投资组合见表三。
对于问题二：我们先运用 excel 软件对历年数据进行了处理，得到单独投资时各项目近 20 年的到期利润率时间序列，以及项目相互影响下的到期利润率时间序列，发现其服从正态分布。运用时间序列预测的简单序时平均数法，定义：今后五年的到期利润率为该正态分布的期望值；未来五年的风险损失率用往年数据利润率的标准差来衡量，运用 MATLAB 软件求出到期利润率，并利用 excel 求出风险损失率。具体结果见表四、表五。
对于问题三：根据问题二的预测结果，建立了与问题一相同的目标函数，考虑到公司争取到的资金捐赠，以及项目之间的相互影响，修改约束条件，依照该模型用 Lingo 求解，得到该公司在第五年末利润为，具体投资方案见表 对于问题四：在问题三的基础上，考虑投资风险，即需要考虑到风险损失率。根据问题二中对风险损失率的定义可知，其反映的是利润率的波动情况，所以我们以预计到期利润率与风险损失率之差作为各项目的实际利润率，通过修改模型三得到单目标优化模型四，用 Lingo 解得考虑风险时该公司第五年末的利润为，具体投资组合见表六。
对于问题五：在上述情况的基础上，公司增加了存款和贷款两种资金运作的方式。由于题目未给出具体的银行利率，我们从网上收集了中国人民银行近年来存贷的利率数据，并利用灰色预测模型预测了未来五年贷款和存款的利率。贷款和存款金额没有限制，因此我们假设每年年初投资后没有不用于投资的资金。以第五年末的最大利润为目标函数，建立单目标优化模型，得到第五年末的利润为，具体方案见表七。
关键词：线性规划
时间序列预测 灰色预测模型
1. 问题重述 1.1 问题背景 某公司现有数额为 20 亿的一笔资金可作为未来 5 年内的投资资金，市场上有 8 个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投资选择。
各个项目的投资规则：
(1) 项目 1、项目 2 每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）； (2) 项目 3、项目 4 每年初投资，到第二年末回收本利； (3) 项目 5、项目 6 每年初投资，到第三年末回收本利； (4) 项目 7 只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利； (5) 项目 8 只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。
1.2 需要解决的问题 问题一：
根据 附录一表 1 的实验数据，确定 5 年内的投资组合方案，使第五年末所得利润最大。
问题二：
公司财务分析人员收集了 8 个项目近 20 年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。
8 个项目独立投资的往年数据见 附录一表 2 。
同时对项目 3 和项目 4 投资的往年数据；同时对项目 5 和项目 6 投资的往年数据；同时对项目 5、项目 6 和项目 8 投资的往年数据见 附录一表 3 。注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目。
试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。
问题三：
未来 5 年的投资计划中，还包含一些其他情况。
对投资项目 1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目 1 中投资超过20000 万，则同时可获得该笔投资金额的 1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。
项目 5 的投资额固定，为 500 万，可重复投资。
各投资项目的投资上限见 附录一表 4 。
在此情况下，根据问题二预测结果，确定 5 年内如何安排 20 亿的投资，使得第五年末所得利润最大？ 问题四：
考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。
如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？ 问题五：
ija为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对 5 年的投资进行决策。
2. 基本假设与符号说明 2.1 基本假设 (1) 题目中所给的数据真实有效； (2) 每次投资的实际收益与预计收益相等； (3) 公司第五年末结束投资活动，不存在仍在运作的项目； (4) 除了题目中提及到的项目之间相互影响的情况，其他项目同时投资不存在相互影响； (5) 某项目的投资上限是对同一投资期存在的投资额的约束，不包括到期投资； (6) 投资过程的手续费用忽略； (7) 假设今后五年独立投资及项目相互影响下的到期收益率和风险损失率保持不变； (8) 假设仅在每年年头进行定期一年的贷款或存款投资。
2.2 符号说明 在各问题中实际值存在不同
符号 符号说明
i 投资年份，i=1,2,3,4,5
j 投资项目，j=1,2,3,4,5,6,7,8 ijx
第 i 年对项目 j 的投资金额 jP
项目 j 的预计到期利润率， 在问题四、五中表示项目 j 的实际到期利润率 jr 项目 j 在问题二中求出的到期利润率
项目 j 在第 i 年末的到期本利 jb
项目 j 的投资上限 iA
第 i 年的投资总额 iB
第 i 年末拥有的本利和
iD 第 i 年的贷款金额 iC 第 i 年的存款金额 iT 第 i 年的存款利率 iH 第 i 年的贷款利率 jmP 同时投资项目 j 和 m 时，项目 j 的到期利润率 jmnP 同时投资项目 j,m,n 时，项目 j 的到期利润率 iZ 第 i 年初可用于投资运作的总金额 jF 项目 j 的风险损失率 jmF 同时投资项目 j 和 m 时，项目 j 的风险损失率 jmnF 同时投资项目 j,m,n 时，项目 j 的风险损失率 3. 问题分析 此题研究的是公司的投资组合问题：在 20 亿的原始资金约束以及各个项目的投资约束下，选择最优的投资组合方案，使得第五年末所得利润最大。
针对问题一，我们要建立一个以第五年末的最大利润为目标函数的单目标最优化模型。对于约束条件，首先，不得违背各个项目的投资规则：
(1) 项目 1、项目 2 每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）； (2) 项目 3、项目 4 每年初投资，到第二年末回收本利； (3) 项目 5、项目 6 每年初投资，到第三年末回收本利； (4) 项目 7 只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利； (5) 项目 8 只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。
其次，每个项目的投资额不大于其投资上限，且非负。由于每年年末到期的本利可用于下一年的投资，所以每年初投资总额不大于可用于投资的总金额。
针对问题二，要对各个项目独立投资以及项目之间相互影响下的投资的到期利润率和风险损失率进行预测，首先，要求出对应的各项目历年投资的到期利润率，经过检验，我们发现历年的投资到期利润率服从正态分布。运用简单序时平均数法，以该正态分布的期望值作为未来 5 年相应的到期利润率。考虑衡量风险的标准应为与所期望值距离的大小，我们选择往年利润率的标准差来表示风险损失率。
针对问题三，不考虑投资风险的情况下，若项目 1 投资超过 20000 王，则可获得该笔投资金额的 1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。项目 5 的单次投资
额固定为 500 万元。在模型一的基础上，修改约束条件建立模型三求解。
针对问题四，需要考虑投资风险，此时预计到期利润与实际出现偏差，我们以预计到期利润率与风险损失率之差作为各项目的实际利润率，仍以第五年末的利润最大化为目标，建立单目标优化模型，对问题四求解。
针对问题五，公司增加了存款和贷款的考虑。由于题目未给出具体的银行利率，我们需要收集中国人民银行近年来存贷的利率数据，并利用灰色预测模型预测未来五年贷款和存款的利率。题设中贷款和存款金额没有限制，由于存款的存在，每年年初投资后没有不用于投资的资金。在此基础上，建立以第五年末的最大利润为目标函数的单目标优化模型。
4. 问题一的解答 4.1 模型一的建立 为解决问题一，我们建立了模型一。由题目可以得到下列表格：
表一：第 i 年年初可以投资的项目 年份 1 2 3 4 5 项目 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 8 1 2 3 4 1 2
表二：第 i 年末可回收本利的项目 年份 1 2 3 4 5 项目 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 更直观的展示：点处表示该项目可投资，射线延伸表示为投资运作期
i
j 1、2
3、4
5、6 7 8 1
2 3 4 5
4.1.1 确定目标函数 第 i 年年末拥有的本利和取决于之前的投资决策， =−= + − ==81105 , 4 , 3 , 2 , 1 , B200000jij i i ii a A BB 其中==81 jij ix A 由表二，项目 j 在第 i 年末的到期本利如下：
= = += = += = += = += = +=−−8 , 5 ), 1 (7 , 5 ), 1 (6 , 5 , 5 , 4 , 3 ), 1 (4 , 3 , 5 , 4 , 3 , 2 ), 1 (2 , 1 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ), 1 (8 387 27, 2, 1j i P xj i P xj i P xj i P xj i P xaj j ij j ij ijij 由于第五年末的利润等于第五年末到期回收的本利和（即第六年年初可用于投资的总金额）与原始资金的差额，
即第五年末的利润 205 −= B w , 所以问题一的目标函数为：
max
2000005− = B w 4.1.2 确定约束条件 1) 每年年初的投资总额不大于可用于投资的总金额， 1 −≤i iB A
2) 不违反各项目的投资规则（表一），且在投资期结束时不存在运行中的项目，即 ）
（ 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 0) 8 , 7 , 6 , 5 ( 000) 8 , 7 ( 05437281= == ==== =j xj xxxj xjjj 3) 每次投资非负，即 0 ≥ijx
4) 同一投资期存在的对该项目的投资额不大于对应项
目的投资上限：
对于项目 1,2,7,8,每年的投资额独立考虑； 对于项目 3,4,考虑相邻两年的投资额； 对于项目 5,6,考虑相邻三年的投资额。
) 6 , 5 5 , 4 , 3 () 4 , 3 5 , 4 , 3 , 2 () 8 , 7 , 2 , 1 (, 2 , 1, 1= = ≤ + += = ≤ += ≤− −−j i b x x xj i b x xj b xj j i j i ijj j i ijj ij， 记满足约束 2) 、 3) 、 4) 的j ix的集合为 L
4.1.3 得到优化模型 Max
2000005− = B w
s.t.
其中，
=−= + − ==81105 , 4 , 3 , 2 , 1 , B200000jij i i ii a A BB = = += = += = += = += = +=−−8 , 5 ), 1 (7 , 5 ), 1 (6 , 5 , 5 , 4 , 3 ), 1 (4 , 3 , 5 , 4 , 3 , 2 ), 1 (2 , 1 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ), 1 (8 387 27, 2, 1j i P xj i P xj i P xj i P xj i P xaj j ij j ij ijij 4.2 模型一的求解 运用 lingo 软件编程对模型一求解（源程序见附录二）得到第五年末的最大利润为 15325 万元，具体投资方案如下表三：
项目
年份
第一年
第二年
第三年
第四年
第五年
项目一
60000 45544 60000 60000 60000 项目二
30000 30000 30000 30000 30000 1 −≤i iB AL xj i∈
项目三
40000 0 0 40000 0 项目四
30000 0 252546 4746 0 项目五
3756 0 262446 0 0 项目六
20000 0 0 0 0 项目七
0 40000 0 0 0 项目八
0 0 30000 0 0
5. 问题二的解答
5.1 模型二的建立 5.1.1 数据处理 1) 运用 excel 软件对附录一表 2 、表 3 中的数据进行处理，得到单独投资时 8 个项目近 20 年的到期利润率时间序列（附录三表 1 ），以及项目相互影响下的到期利润率时间序列（附录三表 2 ），以及各自的标准差（附录三表 3 、表 4 ）。
2) 对附录三表 1 、表二中的数据进行分析并利用数学软件 MATLAB 进行正态分布判断的处理（源程序见
附录三表 5 ）。
5.1.2 相关定义 1) 今后五年的到期利润率为该正态分布的期望值。
2) 未来五年的风险损失率用往年数据利润率的标准差来衡量。
5.1.3 到期利润率表示 观察到项目 1 近 20 年的利润率数据与正态分布相近，猜想项目 1 的历年利润率服从正态分布。
通过 MATLAB 对猜想进行检验，得到项目 1 的历年利润率服从正态分布。
5.1利润是投率的5.2的到
由正态分 得到到期.4 风险损对于风险润为α，而投资的风险因此，衡量的标准差来2 模型二的运用 MAT到期利润率 表四：今后表五：今后分布的公式：利润率,即期损失率表示险损失率，假实际上的利险，而不单单量风险的标来衡量未来五的求解 ATLAB 求解率，运用 exc后五年各项目后五年项目之 期望值μ。示 假如一个公司利润与α出单只考虑公标准应为实际五年项目投今后五年各cel 求出对应独立投资的之间相互影响 司对市场上现偏差，不公司亏本的这际值与期望投资风险率。各项目独立应的风险损到期利润率和下的投资的到上的一些项不论是小于这种情况。望值距离的 立投资及项目损失率，结果和风险损失率到期利润率和目进行投资α，还是大 大小，即用目之间相互果如下表：率
和风险损失率资，他所期望大于α，均认用往年数据利互影响下的投 率
望的认为利润投资
6.16.1大利6.1
1 模型三的.1 确定目由问题分利润值。
由此可得 .2 确定约1) 由于项 但因为存
P2) 由的建立 标函数 分析可知，问得第三问的目max
约束条件 项目的回收= a ij存在项目之间3P = P5P = P568 5P = P
由于存在资金6. 问问题三与问题目标函数为B 5 = w收年限不变，+++++−−1 (1 (1 (1 (1 (3827, 2, 1P xP xxxP xj ij iij间的相互影34P
4P =56P
6P =
65 6P P =金捐赠，对题三的题一拥有相为：
20000 −所以项目=== += +=, 5 ),, 5 ),),...
篇二：投资问题数学建模
司投资问题的数学模型 摘要 本文要研究的是公司在未来 5 年内如何利用 20 亿投资金额来投资使得第五年年末时所得利润最大的问题。
对此， 我们综合利用了 线性规划、 灰色预测、 灵敏度分析、 残差检验等方法对题中所给问题逐一解决。
对于问题一：
问题一是典型的线性规划问题， 我们建立了在不考虑风险的情况下以第五年末最大利润为目 标的单目标最优化模型。
首先， 每一年年初投资的金额不能大于可用投资金额， 可列出第一个约束条件。
其次， 每一个项目在其运行期再进行投资时不能超过其投资上限， 可列出第二个约束条件。
第五年年末的利润即为第五年年末的本利与 20 亿投资金额之差， 可列出目 标函数。
然后通过建立的最优化模型求得第五年年末的最大利润为 153254. 4 万元。
每个项目每年的投资金额见问题一求解的表二。
最后对所建模型进行灵敏度分析。
对于问题二：
首先， 对题中表二和表三所给数据利用公式（到期利润率=到期利润/投资总金额）
对数据进行处理， 求出其对应的利润率（见附录二）。
然后利用灰色系统理论中的 GM（1, 1）
预测模型分别对独立投资和同时投资两种方案的到期利润率进行预测。
再以负利润率的期望作为衡量风险损失率的指标， 即风险损失率等于负利润率的期望， 最后得到到期利润率和风险损失率的预测值（预测结果见问题二的求解）。
对于问题三：
在前两问的基础上， 考虑同时投资时项目 间的相互影响， 利用问题二中所求得的到期利润率建立以第五年年末最大利润为目标的单目标最优化模型。
最后求得第五年年末的最大利润为 248511. 3 万元。
每个项目 每年的投资金额见问题三求解的表二。
对于问题四：
问题四考虑了投资风险， 利用问题二中得到的风险损失率， 在问题三的基础上， 建立以总风险最小和第五年年末利润最大为目标的多目标优化模型。
最后求得最大利润为 267314. 3 万元。
每个项目 每年的投资金额见问题四求解的表一。
对于问题五：
问题五同样考虑了投资风险， 多加了向银行贷款存款这一条件，把银行存款当做投资， 贷款的钱用于其它项目 的投资， 类比问题四， 建立多目标优化模型， 通过 LINGO 软件包求得， 当风险度 a 为 0. 13 时， 得到最大利润为277858. 3 万元。
每个项目每年的投资金额见问题五求解的表一。
关键词：
线性规划、 灵敏度分析、 灰色预测、 残差检验、
1 . 问题重述 1 . 1 问题背景 某公司现有数额为 20 亿的一笔资金可作为未来 5 年内的投资资金， 市场上有 8 个投资项目（如股票、 债券、 房地产、 …）
可供公司作投资选择。
其中项目1、 项目 2 每年初投资， 当年年末回收本利（本金和利润）； 项目 3、 项目 4 每年初投资， 要到第二年末才可回收本利； 项目 5、 项目 6 每年初投资， 要到第三年末才可回收本利； 项目 7 只能在第二年年初投资， 到第五年末回收本利； 项目 8只能在第三年年初投资， 到第五年末回收本利。
1 . 2 需要解决的问题 问题一: 根据附录一表 1 实验数据确定 5 年内如何安排投资？ 使得第五年末
所得利润最大？
问题二: 公司财务分析人员收集了 8 个项目近 20 年的投资额与到期利润数
据， 发现：
在具体对这些项目投资时， 实际还会出现项目之间相互
影响等情况。
8 个项目独立投资的往年数据见附录一表 2。
同时对项
目 3 和项目 4 投资的往年数据； 同时对项目 5 和项目 6 投资的往年
数据； 同时对项目 5、项目 6 和项目 8 投资的往年数据见附录一表 3。
(注：
同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目)
试根据往年数据， 预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影
响下的投资的到期利润率、 风险损失率。
问题三: 未来 5 年的投资计划中， 还包含一些其他情况。
对投资项目 1， 公
司管理层争取到一笔资金捐赠， 若在项目 1 中投资超过 20000 万，
则同时可获得该笔投资金额的 1%的捐赠， 用于当年对各项目的投
资。
项目 5 的投资额固定， 为 500 万， 可重复投资。
各投资项目的
投资上限见附录一表 4。
在问题三的背景下， 根据问题二预测结果，
确定 5 年内如何安排 20 亿的投资？ 使得第五年末所得利润最大？
问题四: 考虑到投资越分散， 总的风险越小， 公司确定， 当用这笔资金投资
若干种项目时， 总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度
量。
如果考虑投资风险， 问题三的投资问题又应该如何决策？
问题五: 为了降低投资风险， 公司可拿一部分资金存银行， 为了 获得更高的
收益， 公司可在银行贷款进行投资， 在此情况下， 公司又应该如何
对 5 年的投资进行决策?
2. 模型的假设 假设一：
题目所给的数据是真实可靠的。
假设二：
没有交易费、 投资费等开支。
假设三：
在投资的五年时间内市场发展基本上是稳定的。
假设四：
公司的经济发展对投资无较大影响。
假设五：
投资期间社会政策无较大变化。
假设六：
假设每一年银行与公司只有贷款或存款中的一种业务。
假设七：
贷款利率和存款利率稳定。
假设八：
第五年年末， 银行与公司终结存款或贷款业务。
3. 符号的说明 符号 符号说明 uij 第 j 年第 i 个项目的投资金额 ri 问题一中第 i 个项目 的预计到期利润率 Qj 第 j 年年初可用用于投资的金额 Q 第五年年末的本利 ( )s i
问题一第 i 个项目在运行期的投资上限 ( )n i
问题三、 四中第 i 个项目在运行期的投资上限 qij 第 i 个项目 第 j 年的风险损失率 cj 第 j 年存入银行的金额 ej 第 j 年在银行存款的金额 mj 第 j 年银行存款利率 nj 第 j 年贷款利率
4. 问题分析
此题研究的是公司在未来五年内有八个项目 可供投资的条件下如何来安排每年的投资使得第五年年末时能获取最大利益的问题。
针对问题一: 要得到第五年年末的最大利润， 则要建立一个以最大利润为目标的单目 标最优化模型。
对于约束条件的确定， 首先， 题目 已给出每个项目每年
的投资上限， 因此每个项目每年投资金额不能大于此上限。
其次， 由于每一年年末的本利可用于下一年投资， 因此要计算出每一年年初可用于投资的金额 Qi， 而这一年的投资金额不能大于可用于投资的金额。
对于目 标函数的建立， 由于第五年年末的利润即为第五年年末的本利与 20 亿投资金额之差， 据此即可建立以第五年年末的最大利润为目标的目标函数。
针对问题二: 由于实际投资中， 同时投资的项目 之间会有相互影响， 因此要根据所给数据来预测独立投资和项目 之间相互影响下同时投资的到期利润率和风险损失率。
我们采用灰色系统理论中的 GM（1, 1）
预测模型， 对五年的利润率进行预测并对预测值进行检验和残差修正。
再根据预测的五年内的利润率和前20 年的利润率， 用公式（风险损失率=利润率的期望）
来预测未来五年的风险损失率。
最终得到到期利润率和风险损失率的预测值。
针对问题三: 在不考虑投资风险的情况下， 若项目 1 投资超过 20000 万， 则同时可获得该笔投资金额的 1%的捐赠， 用于当年对各项目的投资。
项目 5 的投资额固定， 为 500 万， 可重复投资。
在模型一的基础上， 通过问题二得出的到期利润率以及问题三中所要求的条件， 对目 标函数和约束条件进行改造， 建立模型三。
针对问题四: 前三问都是不考虑投资风险， 问题四是在考虑投资风险的情况下， 由于投资每个项目 都存在风险， 因此以投资风险最大的一个风险作为总风险。利用问题二中得到的风险损失率， 在问题三的基础上， 建立以总风险最小和第五年年末利润最大为目标的多目 标优化模型。
并对模型进行简化， 转化为以第五年年末最大利润率为目标的单目 标优化模型。
针对问题五：
问题五同样考虑了投资风险， 多加了向银行贷款存款这一条件，把银行存款当做投资， 贷款的钱用于其它项目 的投资， 类比问题四， 建立多目标优化模型， 然后通过 LINGO 软件包求最大利润。
5. 数据分析 定义 1
运行期指从投资开始到回收本利的这段时间。
定义 2 到期利润率指到期利润与投资本金的商。
定义 3 风险损失率等于到期损失率的期望。
5. 1 问题五中银行历年贷款利率
调
整 时
间 利率（%）
贷款时间 六个月至一年 （含一年）
调
整 时
间 利率（%）
贷款时间 六个月至一年 （含一年）
1991.04.21 8.64 2007.03.18 6.39 1993.05.15 9.36 2007.05.19 6.57 1993.07.11 10.98 2007.07.21 6.84 1995.01.01 10.98 2007.08.22 7.02 1995.07.01 12.06 2007.09.15 7.29 1996.05.01 10.98 2007.12.21 7.47 1996.08.23 10.08 2008.09.16 7.20 1997.10.23 8.64 2008.10.09 6.93 1998.03.25 7.92 2008.10.30 6.66 1998.07.01 6.93 2008.11.27 5.58 1998.12.07 6.39 2008.12.23 5.31 1999.06.10 5.58 2010.10.19 5.56 2002.02.21 5.31 2010.12.26 5.81 2004.10.29 5.58 2011.02.09 6.06 2006.04.28 5.85 2011.04.06 6.31 2006.08.19 6.12 2011.07.07 6.56
6.
问题一的解答
6. 1 模型一的建立 6. 1 . 1 确定目标函数
对于目标函数的建立， 首先通过每一年年初可用于投资的金额来分类讨论如下表一。
表一：
每年年初可用于投资的金额
（单位：
万元）
每年年初可用于投资的金额 第一年 512 10Q = × 第二年 28211111(1)iiiiiQQuru===++−∑∑ 第三年 42832122311(1)(1)iiiiiiiiQQururu====++++−∑∑∑ 第四年 64284312335311(1)(1)(1)iiiiiiiiiiiQQurururu=====++++++−∑∑∑∑ 第五年 64285423445311(1)(1)(1)iiiiiiiiiiiQQurururu=====++++++−∑∑∑∑ 第五年年末的本利为:26572783851(1)(1)iiiQQuuuru r==+++++∑ 第五年年末所得利润即:61yQQ=−
综上所述， 得到问题一的目标函数为：
61max
yQQ=− 6. 1 . 2 确定约束条件
每个项目在运行期间进行投资时要小于其投资上限， 并且每年年初的投资金额要满足小于等于每年年初可用于投资的金额， 其中， 各个投资项目 的投资上限是在任一项目 的运行期（指从投资开始到回收本利的这段时间）
间公司对该项目投资金额不能超过该项目的投资上限， 每年可用投资金额等于上一年可用投资金额减去上一年的总投资再加上上一年年末个项目 回收的本利， 因此得到问题一的约束条件如下：
,1,1,2728( )
(s i1,2;1,2,3,4,5)( )
(s i3,4;2,3,4,5). .( )
(s i5,6;3,4,5)(7)8:ijiji jiji ji juijuuijs tuuuijusu−−−≤==+≤==++≤==≤项目1、 项目2每年的投资金额限制:项目3、 项目4在两年运行期的投资金额限制:项目5、 项目6在三年运行期的投资金额限制:项目7的投资金额限制:项目的投资金额限制(8)s≤3
81118221833184418551. .iiiiiiiiiiuQuQs tuQuQuQ=====≤≤≤≤≤∑∑∑∑∑ 6. 1 . 3 综上所述， 得到问题一的最优化模型
目标函数：
61max
yQQ=−
265727838516428542344531164284312335311283212211(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiQQuuuru rQQurururuQQurururuQQururu=======4====2=8==+++++=++++++−=++++++−=++++−∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑其中，321111151(1)2 10= ×iiiiiQQuruQ===++−∑∑∑
,1,1,2728( )
(s i1,2;1,2,3,4,5)( )
(s i3,4;2,3,4,5). .( )
(s i5,6;3,4,5)(7)8:ijiji jiji ji juijuuijs tuuuijusu−−−≤==+≤==++≤==≤项目1、 项目2每年的投资金额限制:项目3、 项目4在两年运行期的投资金额限制:项目5、 项目6在三年运行期的投资金额限制:项目7的投资金额限制:项目的投资金额限制(8)s≤3
81118221833184418551. .iiiiiiiiiiuQuQs tuQuQuQ=====≤≤≤≤≤∑∑∑∑∑ 6. 2 模型一的求解
根据以上建立的模型， 利用 LINGO 软件包求得每一年每个项目的投资金额、如下表二， 每年年初的投资总金额如下表三， 每年年初的可用投资金额如下表四：
表二 ：
每年每个项目的投资金额
（单位：
万元）
项目 投资金额 年份 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 项目一 项目二 项目三 项目四 项目五 项目六 项目七 项目八
表 三 ：60000 30000 45544. 44 30000 60000 30000 60000 30000 60000 30000 40000 0 0 40000 0 30000 0 25254. 44 4745. 556 0 3755. 556 0 26244. 44 0 0 20000 0 0 0 0 0 40000 0 0 0 0 0 30000 0 0 每 年 年 初 的 投 资 总 金 额
（ 单 位 ：万 元 ）0100002000030000400005000060000投资金额第一年第二年第三年第四年第五年年数每年每个项目的投资金额项目一项目二项目三项目四项目五项目六项目七项目八 年份 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 90000 年初投资总金额 163755. 556 105544. 44 171498. 88 17745. 556
表四：
每年年初可用金额
（单位：
万元）
年份 第一年 每年年初可用金额 200000 115544. 4 171498. 9 134745. 6 131373. 1
在第五年年末， 得到的本利 P 为 35325. 44 万元。
得到的最大利润即为第五第二年 第三年 第四年 第五年 年年末总的本利与 20 ...
篇三：投资问题数学建模
dash; 345 —学术争鸣 ◎摘要：资本，不论对个人还是对集体来说都是十分重要的因素，而获取资本的重要渠道是进行投资。在进行投资时，人们总会设法获取尽可能多的收益，尽量规避风险，如何统筹兼顾，做出投资正确选择，是投资成功的关键问题。我们小组利用数学模型，兼顾复投、利率波动等因素，对不同投资方式进行分析讨论，解决实际问题，并给适当出建议。关键词：投资；风险；数学模型；复投；建议；实际问题常见理财产品的还息方式有：到期一次性还本付息、先息后本、等额本金、等额本息等。在这种背景和以上多种还息方式的基础上，我们提出了以下题目：1. 在预期年利率一致的前提下，兼顾复投、利率波动等因素，对不同的投资方案建立合理的数学模型分析利弊。2. 解决实际问题：现有本金 200 万元可用于投资，期限最多三年，但在这三年期间不确定是否有买房打算（首付 100 万元），利用建立的数学模型综合分析各种情况，给出建议。问题一（1）对于一次性还本付息，在不复投、投资相同期限的理财产品的情况下，该种投资方式风险较高，收益最高，但受利率波动大，灵活性差。在复投时，该种收益较少，不建议选择投资。（2）对于先本后息，在不复投时，总收益与一次性还本付息相同，而风险较小，每隔固定期限都可收回部分利息，但较少，灵活性较低。在复投的情况下，收益与等额本金法和等额本息法相同。（3）对于等额本金法，在不复投时，总收益较小，但风险小，灵活性好，适合谨慎稳健的投资者。在复投情况下，收益同先息后本、等额本息法相同。（4）对于等额本息法，在不复投时，总收益较等额本金法高，同时风险增加，每隔固定期限均可收回相同资金，灵活性较好。在复投情况下收益与先本后息、等额本金法相同。模型假设：（1）建模收集数据 准确可靠。（2）建模中涉及的主观分析符合客观事实。（3）假设利率一定，且符合实际情况。（4）设所买理财产品期限一定且中途无法中断。（5）假设风险和利率波动在客观事实范围内。（6）无市场波动中出现的通货膨胀、货币贬值等现象，即金融市场稳定。变量表主要变量符号说明S 元 最终总获利金额（即本息和。）n 年 投资总期限a 年利率X i 元 第 i 月获利息金额B 元 总利息P 元 本金M i 元 第 i 月复投部分所得额外收益m 元 总的复投部分所获收益A i 元 复投的情况下等额本息每月所得的总收益（即每月的本息和）i 月 月份Qi 元 等额本息中每月所剩本息收益Ti 元 等额本金中第 i 月收益（即本息和。）A 元 不复投情况下等额本息每月所得的总收益（即每月的本息和）模型建立模型Ⅰ：一次性还本付息 : 指贷款到期后一次性归还本金和利息 , 此种算法较为简单，利息的计算为 时间 利率 本金 × × 最终的本息和为所算利息再加上本金。模型Ⅱ：先息后本的本义是：先还利息再还本金。在不复投的情况下，所得的本息和与一次性还本付息相同，只是每月返还一定的利息。而对于复投的情况下，则需要计算复投额外获得的利息，原应获得的利息累计求和，即可计算出全部利息，再加上本金即为本息和。模型求解模型Ⅰ：一次性还本付息是指到期一次性还本付息，指贷款到期后一次性归还本金和利息Pan n a P B = × × = B P S + =模型Ⅱ：先息后本所谓先息是指按月还息，到期后一次性还本。除去到期一次性还本付息，上述各种收益方式都会每月产生一定数额的还款，需要投资人及时打理。（1）若不复投，则为= × × = n a P B Pan B P S + =nBX i12=( 每月所获利息相同）（2）若复投，因为第一个月复投所获利息为 :01 =M第二个月复投所获利息为：
anBM × =122第三个月复投所获利息为：2223)12( ) 1 ( )12( 212 nBM a anBnBM + + = ×+ × =第 n 个月复投所获利息为：21)12( ) 1 (nBM a Mn n+ + =−由递推公式可得，nBanBMnn12) 1 )(12(1 −+ =−由等比数列求和可得：12 12) 1 (12BnaBanaBmn− − + =对于不复投的情况下，带入模型求解可得，一年后的本息和 S 为：101000 元。由理财计算器带入可得一年后本息和 S 为：101000 元。对于复投的情况，带入模型求解可得，一年后的本息和 S 为：112682.503 元由理财计算器带入可得一年后本息和 S 为：112682.503 元。模型正确模型优劣优：（1）模型易于理解，操作简单；（2）应用 Matlab 函数软件；（3）对于模型的建立进行了实际计算，较为准确。劣：（1）未计入可能因风险因素损失的资本；（2）未计入因投资人心理因素而对最终结果产生的影响；（3）实际情况下存在利率波动；（4）未对实际风险进行彻底分析。问题二人们投资的目的是获取最大的收益，因此，我们在此利用上述模型讨论收益最大的情况，为方便叙述，我们称还息方式：有到期一次性还本付息、先息后本、等额本金、等额本息分别为方案 1、2、3、4。假定利率为 4%。我们通过数学模型对投资方式的风险与收益进行了分析与讨论 , 得出了以下结论 :1. 收益越大，风险越高。2. 不选择复投时，四种还息方式所得利益一次性还本付息＝先息后本＞等额本息≈等额本息。选择复投时，先息后本＝等额本息＝等额本金＞一次性还本分付息。（作者单位：江苏省前黄高级中学国际分校）理财投资的数学建模王晨阳
篇四：投资问题数学建模
次：投资决策模型华侨大学信息系宋海洲
0：
引言：• 现实经常碰到决策问题；• 决策是为解决当前或未来可能发生问题中选择最佳方案的一种过程中选择最佳方案的理中常用。• 决策分：
（1）
确定性决策：
对现实、 后果全然了解（2）
不确定性决策：
对现实、后果不全然了解在经济管种过程。
在经济管
一：
外销方案选择问题：某公司有一种产品外销， 当时因销路较好， 打算增加投资。
但国际市场行情随时在变， 因此增加多少投资是值得公司决策者认真考虑的， 设今后市场行情有4种情况用1 2 3 4表示种情况， 用1 2 3 4表示， 而公司领导层考虑了五种方案：
S1 S2 S3 S4 S5， 据估计， 不同的方案在不同的经济情况下的净利得见表：而公司领导层考虑了五种
决策者如果按照不同的准则， 将作出不同的决策。1：
最大最大准则----------乐观主义准则：决策者椒一切往好的方面去想， 根据最好的可能作出决策。
具体步骤是：（1）
把各种经济情况下的最大利得求出来。M{5 3 5 5} 5{7 5 5 3} 7Max{5,3,5,5}=5,max{7,5,5,3}=7S1S2max{4,2,9,6}=9, max{5,4,7,6}=7,
max{5,3,8,6}=8S3S4S5(2)求各最大利得值的最大值：max{5,7,9,7,8}=9(3)最大值9对应的方案是S3 ， 因此决策时应选方案S3
2：
最大最小准则----------乐观主义准则：即Wlad准则， 认为客观情况将会向坏的方向发展，前途是悲观的，决策时不如在坏的结果中挑一个最好的。
具体步骤是：（1）
把各种经济情况下的最小利得求出来。Min{5,3,5,5}=3,min{7,5,5,3}=3SSS1S2min{4,2,9,6}=2, min{5,4,7,6}=4,
min{5,3,8,6}=3S3S4S5(2)求各最小利得值的最大值：max{3,3,2,4,3}=4(3)最大值4对应的方案是S4 ， 因此决策时应选方案S4
3:部分乐观主义准则-------hurwicz准则（1）
就是对于乐观主义准则过于乐观的观点进行一些调整， 但还是认为前途是乐观的。
主张从中平衡一下，用一个系数表示乐观程度， 称为乐观系数， 记为， 并且0<=<=1。
计算C Vi= max{a 且计算ij}+(1- )min{a )ij}{j} ({j}j
j显然=1便是乐观主义准则；=0便是悲观主义准则。（2）
此例中令=0.7，CV1=0.7*5+0.3*3=4.4;CV2=0.7*7+0.3*3=5.8;1-=0.3， 计算CV3=0.7*9+0.3*2=7.2;CV4=0.7*7+0.3*4=6.1;CV5=0.7*8+0.3*3=6.5选7.2对应方案S3.（3）
实际上：
此解法为看成每一种方案最好利得概率为， 最坏利得概率为1-的最大期望原则。
4:最小最大准则----------遗憾最少准则（沙万奇准则）思想：
决策者在制定决策后， 如结果的情况未达到理想的情形， 因而感到后悔，感到遗憾。
方法是将各种经济情况下的感到遗憾方法是将各种经济情况下的净利得的最高值作为该情况下的理想目标， 并将该情况下的其他利得值与最高值相减所得的差， 作为遗憾值。
据此作出遗憾表：
5：
决策树法：• 拉普拉斯准则（等可能性准则）• 最大利得期望值准则（未来经济行情概率已知）率已知）
篇五：投资问题数学建模
投资问题的数学建模关于投资问题的研究 摘要 在商品经济社会中随着生产要素的多元化投资的内涵变得越来越丰富无论是投资的主体、对象还是投资的工具、方式都有了极大地变化由于投资对企业的生存发展有着非同寻常的影响投资已经成为每一个企业力图做大做强、扩大规模、增强效益、持续发展的必要条件。
本文讨论了投资所得利润的问题针对投资问题进行全面分析在不考虑项目之间相互影响和风险的情况下应用线性规划的数学模型建立一个利润优化模型不仅求出了最大本利 14.375 万元还指出了投资的最优方案。
首先对各投资项目的投资额设出未知数根据已知条件列出线性方程再依据题目的约束条件列出约束方程逐步化简得出线性函数进而得到最大本利为 14.375 万元 其次在获得最大本利的前提下逐步推出各项目投资额即所设的未知数 最后根据分析得出最优投资方案见表 5-1。
本文还对结果进行了一定的分析总结了在这一框架下投资者决策和收益的一些特点。文章的最后对这一投资问题进行了深化。
关键字线性规划数学模型最大本利投资方案 一、问题重述 某部门在今后 5 年内考虑给以下 4 个项目投资 项目 A从第一年到第四年年初需要投资并于次年末回收本利 115%
项目 B从第三年年初需要投资到第五年年末能回收本利 125%但规定最大投资额不超过 4 万元 项目 C从第二年年初需要投资到第五年年末能回收本利 140%但规定最大投资额不超过 3 万元 项目 D五年内每年年初可以购买公债于当年末归还并加利息 6% 该部门现有资金 10 万元问应该如何确定给这些项目的投资额使第五年年末拥有资金的本利总额最大? 二、问题分析 题目中四个投资项目之间存在相互影响要求如何分派资金以获得最大利润的问题属于线性规划问题的数学模型。对各投资项目设出未知量根据各投资项目间的相互关系列出关于最大本利的线性函数再根据已知条件及其隐含条件列出线性约束方程从而求出最大本利及各投资项目的投资额。
三、模型假设 1、投资过程不存在风险并能稳定的回收本利 2、各个投资项目之间没有相互影响 3、每年年初不留有呆滞资金。
四、符号说明 Ai 表示第 i 年初对项目 A 的投资额(i=1234) Bi 表示第 i 年初对项目 B 的投资额(i=3) Ci 表示第 i 年初对项目 C 的投资额(i=2) Di 表示第 i 年初对项目 D 的投资额(i=12345) W 表示第五年末获得的本利总额。
五、模型建立与求解 5.1 模型的建立 i=1 时手中资金 10 万元只能投资项目 A、D并且项目 D 可每年回收故不应留有呆滞资金于是有 A1+D1=10(1) i=2 时第一年末只有项目 D 可收回 1.06D1而项目 A、C、D 均可投资有 A2+C2+D2=1.06D1(2) i=3 时第二年末项目 A 可收回 1.15A1项目 D 可收回 1.06D2可投资给项目 A、B、D有 A3+B3+D3=1.15A1+1.06D2(3) i=4 时第三年末项目 A 可回收 1.15A2项目 D 可回收 1.06D3可投资项目 A、D有 A4+D4=1.15A2+1.06D3(4) i=5 时第四年末项目 A 可回收 1.15A3项目 D 可回收 1.06D4只能投资给项目 D有 D5=1.15A3+1.06D4(5) 再加上对项目 A、B、C、D 投资额的限制 B3≤4(6) C2≤3(7) Ai、Bi、Ci、Di≥0(8)
第五年末的本利总额应为 W=1.15A4+1.25B3+1.4C2+1.06D5(9) 问题归结为在条件式(1)~(8)下求 Ai(i=1234)、B3、C2、Di(i=12345)使式(9)的 W 最大的线性规划模型。
5.2 模型的求解 将(1)~(5)式代入(9)式化简整理得 W=(1.25-1.06×1.15)B3+(1.4-1.152)C2+(1.15×1.062-1.152)D2+(1.062-1.15)D4+1.152×1.06×10 =0.031B3+0.0775 C2-0.03036D2-0.0264D4+14.0185(10) 由(8)、(10)式可得要使 W 取得最大值必须使 D2、D4 均为 0C2、B3 均取得最大值即 C2=3B3=4. 所以 Wmax=14.375 万元 为使 C2、B3 均取得最大值必须使 1.06D1=1.06(10-A1)≥3(11) 1.15A1≥4(12) 再由(1)式可得 0≤A1≤10(13) 由(11)、(12)、(13)式可得 4/1.15≤A1≤7.6/1.06。
从上可知在保证在第五年末获得最大本利总额的前提下由(1)(2)式知道D1,A2 均与 A1 成线性关系所以当确定 A1 以后第一、二年的投资方法就确定了。
从第三年初开始由于 B 项投资要固定为 4 万元只需分析对项目 A 和 D的投资方法假设第二年末的收回的本利总额为 S,则对于 A3 和 D3 有 A3+D3=S-4, 第三年末时可收回 1.15A2+1.06D3 因为 D4=0在第四年初将所有本利都投在 A 项目上。在第四年末回收本利为1.15A3此时只能对项目 D 投资。
对于 A3 在第五年末回收本利为 1.06×1.15A3 对于 D3 在第五年末回收本利为 1.15×1.06D3 所以 1.06×1.15A3+1.15×1.06D3=1.06×1.15(S-4) 即第三年在满足 B 项投资为 4 万元时对于项目 A、D 可以任意投资。
第五年初将回收的本利全部投资给项目 D。
投资方式如表 5-1 所示 表 5-1 投资方式 时间 e 项目 ABCD 第一年初 A1--10-A1 第二年初 7.6-1.06A1-30 第三年初 A34-1.15A1-4-A3 第四年初 4.5-1.06A3--0
第五年初---1.219A3 注4/1.15≤A1≤7.6/1.06,0≤A3≤1.15A1-4 六、模型的评价与应用 在求第五年年末所获得的本利时我们建立了线性规划模型为了获得最大的本利我们在投资金额允许的范围内进行了最优化的设计。
优点准确运算出在给定条件下所能获得的最大利润可帮助投资者正确选择投资方向。
缺点没有考虑各个项目之间的相互影响以及投资风险在现实社会中任何投资都具有一定的风险所以我们的模型要在实际生活中应用必须加以改进。
模型的应用建立线性规划模型应用此模型可以帮助公司或企业在投资环境较稳定的情况下选择出有效的投资方案以获得最大利润。
七、参考文献 【1】刘文德孙秀梅皮晓明线性规划哈尔滨哈尔滨工业大学出版 社2004。
【2】朱建青张国梁数学建模方法郑州郑州大学出版社2003。
【3】2009.04.29
