【摘 要】极限概念贯穿于数学分析始终，是数学分析的精髓所在，理解掌握数列极限概念是学好数学分析的关键。本文就极限思想的形成与发展、学生在学习数列极限概念时感到困惑的原因以及在教学中如何分散难点，降低学生学习难度等方面给予阐述。
【关键词】数学分析；数列极限；极限概念；概念分解
数学分析是近代数学的基础，是现代科学技术中应用最广泛的一门学科，也是师范专科数学专业学生的一门必修课程。极限概念是数学分析中最重要的概念之一，数学分析中几乎所有重要的概念，如连续、导数、定积分、重积分、曲线积分、曲面积分以及级数的收敛性等定义都建立在极限的基础上。极限理论是数学分析的基础理论，作为基本运算，极限思想贯穿整个数学分析学科。学生学习数学分析时要掌握的第一个重要概念就是极限概念。然而，极限概念叙述冗长，概念中的符号关系复杂，不易理解。对于初入数学分析门扉的学生，都感觉极限概念过于抽象，不好捉摸，其精确定义不易理解。多数学生是只识其字，不解其意。所以，长期以来极限概念成为数学分析的教学难点。如何突破这一难点，是每一位教师所关心且要认真解决的问题。本文就极限思想的形成与发展、学生在学习极限概念时感到困惑的原因以及在教学中如何分解难点，降低难度，使学生更容易理解和掌握极限概念等方面给予阐述。
一、极限思想
初等数学主要研究事物相对静止状态的数量关系，而数学分析则主要研究事物运动、变化过程的数量关系。从初等数学发展到数学分析，研究对象发生了根本变化，这就必然引起研究方法的革新。极限就是为了适应研究事物运动、变化过程的数量关系而产生的一种新的数学方法。
从极限产生的历史背景来看，极限概念产生于解决微积分学的基本问题：求面积、体积、弧长、瞬时速度以及曲线在一点的切线问题。然而，极限思想，人们在很早的时候就已经有了。极限思想起源于穷竭法，穷竭法以古希腊数学家欧多克索斯命名，他认为量是无限可分的，建立了下列原理：“如果从任一量中减去不小于它的一半的部分，从余量中再减去不小于它的一半的另一部分，如此继续下去，则最后留下一个小于任何给定的同类量的量”。古希腊数学家阿基米德推广了穷竭法，他在《论球和柱体》一书中，第一次给出了球和球冠的表面积，球和球缺的体积的正确公式。他指出，如果圆柱的底等于球的大圆，圆柱的高等于球的直径，则球的表面积恰好等于圆柱的总面积的2/3，圆柱的体积恰好等于球的体积的3/2。这些结果是通过一系列命题一步一步推导出来的，这个过程蕴涵着积分思想。阿基米德把一个量看成由大量的微元所组成，这与现代的积分法实质上是相同的。但由于当时没有实数理论，没有无限的概念，因而没有形成极限的概念。
极限思想在我国古代的文献中也有记载，战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的名言。公元263年，我国古代数学家刘徽在求圆的周长时使用的“割圆求周”的方法，就使用了极限方法。刘徽借助圆的内接正多边形的周长来求圆的周长，其作法是：依次作圆的内接正六边形、圆的内接正十二边形、圆的内接正二十四边形……每个圆的内接正多边形周长都可求得。圆内接正多边形边数越多，其周长就与圆的周长越接近，正如刘徽所说“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”这个方法蕴涵了极限思想。
牛顿和莱布尼兹创立了微积分学，尽管他们在微积分基本公式的建立及计算方法上表现出成绩斐然，但关于极限理论及方法相当粗浅，几乎停留在前一辈的水平上。
在漫长的岁月里，极限概念仍缺乏精确的表达方式，始终不能完全摆脱几何直观描述。直至1821年，法国数学家柯西摆脱几何图形及几何量的任何牵连，在他的论著《分析教程》中给出极限的定义：“当一个变量相继取的值无限地接近于一个固定值，最终与固定值之差要多小就多小，称该固定值为所有其它值的极限。”但这个定义仍不够严密。最终在19世纪60年代，由德国数学家维尔斯特拉斯第一个提出了把柯西关于极限的定性描述改写成定量描述，即第一个提出了“€%^-€%]”语言，它标志着极限理论算术化的完成。
二、数列极限概念教学
学生从小学到高中学习的都是常量数学，被研究的量都是固定不变的，且都是有限的。没有遇到过无限的数学模型，习惯用一种静态不变的观点来分析问题。而极限是一个无限过程，需要用运动、变化的观点来考察问题。初学极限概念的学生，最难解决的是从有限到无限的转变。弄不清为什么要这样定义，表现出多方面的困惑。
在多年的教学实践中，逐渐摸索出从极限概念的本质特征入手，分析其深层含义，采取分解极限概念的方法，即将极限概念所涉及的内容分解为几个部分，逐个进行深入分析，逐个理解掌握，降低难度，使整个极限概念的教学有一个循序渐进的过程，便于学生理解掌握极限概念。
1.数列极限概念的分解。在数学分析中数列极限定义如下：设｛an｝是一个数列，a为定数，若对任给的正数€%^，总存在正整数N，使得当n>N时有，|an-a|<€%^，则称数列｛an｝收敛于a，定数a称为数列｛an｝的极限，记为。
教学时可将这个概念做如下分解：①极限定义涉及到的内容有：一个数列｛an｝、一个定数a、一个正数€%^、一个正整数N及数列的项an与定数a的距离。极限定义要表达的基本思想是：设｛an｝={a1，a2…an…}是一个无穷数列，如果存在一个常数a，使得当n不断增大时，｛an｝无限地靠近a。这是对极限概念的最直观也是最粗糙的描述，但这个描述显然不够严格，不足以解释极限的严格的数学定义。②我们对“an无限地靠近a”作进一步的解释：当n不断增大时，an及其后面所有的项aN+1，aN+2…与a靠近的程度比任何给定的距离都小。③对“an及其后面所有的项aN+1，aN+2…与a靠近的程度”和“任意给定的距离”作进一步的分解。用an与a之间的距离|an-a|表示an与a的靠近程度；对“任意给定的距离”可解释为；假定有无穷多把不同长度的尺子供我们选择（也可以说假定对任何的正实数€%^，都存在着一把长度为€%^的尺子），每把尺子代表着一个距离，那么，任意选出一把尺子就表示“任意给定的距离”。“任意”是指在选择尺子时没有限制，可在无穷多把尺子中随意抽取一把；“给定”是指抽出来的这一把尺子的长度是固定了的。（这里要注意，每次只能抽一把尺子且尺子的长度是固定的。）④“小于任意给定的距离”是指两个数之间的距离小于任何一把抽出来的尺子的长度。⑤于是，极限的概念可解释为：设｛an｝是一个数列，如果存在常数a，对于任意抽出的一把尺子（尺子是有长度的，设为€%^），都存在一个正整数N，从N往后的所有项aN+1，aN+2…与a之间的距离都小于这把尺子的长度，则称定数a为数列｛an｝的极限。⑥进一步把尺子符号化，用尺子的长度€%^表示尺子，用“当n>N时，|an-a|<€%^”表示“|aN+1-a|<€%^，|aN+2-a|<€%^”，即表示“从N往后的所有项aN+1，aN+2…与a之间的距离都小于这把尺子的长度。”这就得出了极限概念的严格的数学定义。
例：按定义证明，这里a为正数。
证明：①证明0是数列的极限。②证明当n不断变大时，无限地靠近0。③也就是说，对任何一把尺子，存在一个正整数N，从N往后的所有项，，…与0之间的距离都小于这把尺子的长度。④为了证明步骤③，现在任意抽出一把尺子，假定抽出的这把尺子的长度为€%^，我们要找到一个正整数N，从N往后的所有项，，…与0之间的距离都小于这把尺子的长度€%^。⑤满足步骤④中的正整数N是这样找到的：令，其中表示的整数部分，则有<<€%^，而从N往后的项有性质，，…所以这些项与0的距离小于€%^。⑥按定义证明：对任意给定的正数€%^，令，则当n>N时，有<€%^。
2.数列极限概念的整体特征。对数列极限概念的理解除了领会定义中各个环节的涵义外，还要真正把握数列极限概念的整体特征。以防只见树木不见森林。极限是一个过程，变化是极限概念的一个特征。极限所表达的是一个数列变化的最终趋势，它反映了一个数列与某个定数之间的关系，而不是数列中各项数值的性质，所以，任意改变数列中的有限项不影响它的极限值。
本文根据数学分析中极限理论建立的历史背景及发展过程，提出一种分解极限概念的教学方法，将极限概念从通俗的文字描述分成几个步骤过渡到严格的数学定义。对每个步骤的内容进行详细分析，让学生分阶段理解掌握相关内容，循序渐进，逐步深入。这种方法可降低极限概念的难度，使学生更容易理解掌握极限概念。极限概念的整体特征可让学生从整体上把握极限概念的实质涵义，再结合极限的分解方法可使学生从细节到整体对极限概念有一个完整而深刻的理解。
参考文献：
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