摘 要： 对于一类T⁃S模糊模型描述的非匹配不确定系统，滑模控制鲁棒性难以保证问题，研究并设计了基于T⁃S模糊模型的模糊反演控制器。首先中间稳定项通过选择合适的Lyapunov函数来确定，在最后一步中确定滑模控制及参数。逐步设计调节器和跟踪控制器，进而实现系统的全局调节和渐进稳定。从仿真结果可以看出，所设计的模糊反演滑模控制器具有良好的跟踪性能和动态品质，在加入干扰项时，系统仍具有良好的性能，表明该设计控制律的有效性和较强的鲁棒性。
关键词： 非匹配不确定系统； T⁃S模糊控制； 滑模控制； 反演控制
中图分类号： TN710⁃34； TP273.4 文献标识码： A 文章编号： 1004⁃373X（2013）19⁃0105⁃04
0 引 言
不确定系统的控制问题一直是控制理论界研究的热点问题，滑模控制在匹配不确定系统控制系统设计中得了广泛应用，但对于非匹配不确定系统，滑模控制的鲁棒性难以保证。由于反演控制设计方法独特的构造性设计过程和对非匹配不确定性的处理能力，在飞机、导弹、电机、机器等控制系统设计中得到了成功的应用[1]。W.C.ohn等基于分块反演技术设计了速度、姿态非线性控制系统，并将其应用于格斗机的设计[2]。文献[3]用带有约束的自适应反演方法设计了F⁃16/MATV非线性模型的控制系统，很好地实现了对攻角和侧滑角指令跟踪。Bao hua Lian等基于非线性反演技术[4]，设计了飞行器高速再入段的控制系统。Huang Shengjie等将反演技术应用于BTT导弹解耦控制[5]，将状态系数作为不确定项来处理，实现了解耦控制。反演控制技术是一种非线性递推控制设计方法，其稳定性及误差收敛性都已得到证明[6]。但反演方法要求系统不确定性可参数化表示，并存在“计算膨胀”的问题，随着被控对象相对阶的增加这使得控制器难以实现。
模糊控制是一种不依赖于对象的精确数学模型，利用语言规则实现被控对象的控制，特别适合于非线性、时变等动态特性复杂的多变量耦合系统 [7⁃8]。T⁃S模糊模型是一种描述复杂系统动态特征的非线性模型，它是描述非线性系统的一种比较有效的方法[9]。文献[10]已证明T⁃S模糊模型比Mamdani模糊模型具有更好的逼近性能。
滑模控制对参数不确定项和外部干扰具有不变性，模糊控制与滑模控制相结合的设计方法不仅能够使闭环系统稳定，并且能够避免滑模控制的抖振现象。本文考虑一类含非匹配不确定MIMO非线性系统的控制器设计问题。利用反演设计技术具有处理非线性系统存在的非匹配不确定性的能力，并结合T⁃S模糊模型和滑模控制等理论设计了基于T⁃S模型的模糊反演控制器。
1 问题描述
考虑如下一类非匹配不确定性非线性多输入多输出系统：
[x1=b1x2+f1（x1）x2=b2u+f2（x1，x2）+w（t）] （1）
式中：[f（x）∈Rn]为系统非线性函数；[G（x）≠0，][x=[xT1，xT2，…，xTn]T]为系统状态变量，[xi=[xi1，xi2，…，xin]，][（i=1，2，…，n）；][u][∈][Rn]为系统的输入向量；[rank（G）=n；][w（t）]表示系统的不确定项和外干扰，不需要满足匹配条件。
假设1 存在正的常量[bjm]和[bjM]满足如下不等式[0 系统控制的目标是在系统存在不确定项[w（t）]的情况下，设计控制律[u（t），]使系统由任意初始状态[x（0）≠0]，收敛至平衡点附近的邻域内。反演法在处理非匹配不确定性方面有很大优势，为此引入反演滑模控制理论对控制器进行设计。 2 基于T⁃S模糊模型的反演滑模控制 2.1 T⁃S模糊反演滑模控制器设计 T⁃S模糊系统可将复杂的非线性问题转化为若干线性问题的组合，T⁃S模糊模型能够综合线性控制理论和模糊控制各自的优势。 针对非匹配不确定性式（1），对其进行T⁃S模糊建模，系统动态行为可描述为以下[r]条模糊规则，则第[i]条模糊推理规则为： [if z1 is Fi1 and z2 is Fi2…zn is Fin， thenx1=b1ix2+f1i（x1）x2=b2iu+f2i（x1，x2）+wi（t）] （2） 式中：[z（t）=[z1（t），z2（t），…，zn（t）]T]为模糊前件变量；[Fij]为模糊集合；[x（t）∈Rn]为状态变量；[u（t）∈Rm]为模糊系统的输入；[fji]和[bji]为非线性函数矩阵；[wi（t）]为系统的干扰和不确定性总和，[i=1，2，…，r；][j=1，2。] 设[αi（ti）]为[zi]关于模糊集合[Fi]的隶属函数，则非线性不确定性系统的全局模糊T⁃S模型为： [x1=i=1rαi（zi）（b1x2+f1（x1））x2=i=1rαi（zi）（b2u+f2（x1，x2）+w（t））] （3） 其中：[αi（z（t））=αi（z（t））i=1rαi（z（t））]。 设计反演滑模方法控制器步骤如下： 第一步：引入新的误差状态向量[z1，][z2∈Rn，]则有： [z1=x1-x1dz2=x2-τ1] （4） 式中：[x1d，][τ1]为系统期望的状态轨迹；[x1d]由控制信号命令给出。将[τ1]视为虚拟控制量。由式（2）和式（4）可得： [z1=b1ix2+f1i（x1）-x1dz2=b2iu+f2i（x1，x2）+wi（t）-τ1] （5） 取虚拟控制量[τ1]为： [τ1=-b-11i（K1z1+f1i（x1）-x1d）] （6）
式中：[K1=diag（k11，k12，…，k1n），k1i>0，i=1，2，…，n。]
结合上式整理式（5）可得：
[z1=b1ix2+f1i（x1）-x1d=-K1z1+b1iz2] （7）
第二步：设[K2=diag（k21，k22，…，k2n），k1i>0，i=1，2，…，n。]定义滑模面函数为：
[s=K2z1+z2] （8）
定义Lyapunov函数：
[V1=12zT1z1+12sT1s，]对其求导可得：
[V1=zT1z1+sTs=zT1（-K1z1+b1iz2）+sT（K2z1+z2）=-zT1K1z1+zT1b1iz2+sT[K2（-K1z1+b1iz2）+b2iu+f2i（x1，x2）+wi（t）-τ1]] （9）
根据上式可设计基于T⁃S模糊模型的反演滑模控制器为：
[if z1 is Fi1 and z2 is Fi2…zn is Fin，then ui=-b-12i[K2（-K1z1+b1iz2）+f2i（x1，x2）+w- τ1i+K3s+K4sgn（s）]] （10）
自适应律[w]为：
[w=K5sT] （11）
全局控制器为各个局部子系统控制律的加权和，根据以上模型可得：
[u=i=1rαiui] （12）
2.2 稳定性分析
定义Lyapunov函数：
[V=12zT1z1+12sTs+12K5w2，]对其求导可得：
[V1=zT1z1+sTs+12K5w2=-zT1K1z1+zT1b1iz2+sT[K2（-K1z1+b1iz2）+b2iu+f2i（x1，x2）+w-τ1]-1K5w（w-K5sT）] （13）
将设计的控制律式（10）和自适应律式（11）代入上式可得：
[V1=-zT1K1z1+zT1b1iz2-sTK3s-K4s] （14）
上式可整理变换为：
[V1=-zT1K1z1+zT1b1iz2-sTK3s-K4s=-zTQz-K4s] （15）
通过选取合适的参数值，可使[Q>0，]保证[Q]为正定矩阵。可使[V1≤0，]从而保证每个子系统是渐进稳定的。
取Lyapunov函数：
[V=12zT1z1+12sTs+12K5w2。]对此式求导，则可得：
[V=zT1z1+sTs+12K5w2=i=1rαi[-zT1K1z1+zT1b1iz2+sT[K2（-K1z1+b1iz2）+b2iu+f2i（x1，x2）+w-τ1]-1K5w（w-K5sT）]=-zTQz-K4s<0] （16）
因此全局T⁃S模糊模型是渐进稳定的。
3 仿真算例
考虑二阶MIMO非线性系统：
[q=f（x）+b（x）u] （17）
[其中：][f（x）=2gcos（q1+q2）（sinq2-1）cos（2q2）+4cosq2+192gcos（q1+q2）（2cosq2+10）cos（2q2）+4cosq2+19，]
[b（x）=200cos（2q2）+4cosq2+19-200sinq2cos（2q2）+4cosq2+19-200sinq2cos（2q2）+4cosq2+19400cosq2+2 000cos（2q2）+4cosq2+19]。
为验证本文设计的控制器的有效性和正确性，将式转化为可进行模糊反演滑模控制器设计的状态空间形式。选取[x1=[q1，q2]T，][x2=[q1，q2]T，]系统状态变量为[x=[xT1，xT2]T=[q1，q2，q1，q2]T，]则式（17）转化为如下形式的状态空间方程：
[x1=x2x2=f（x）+b（x）u+w（t）] （18）
式中[w（t）]表示系统的不确定项和外干扰总和。
对系统式（17），建立如下的T⁃S模糊模型：
模糊系统规则1：如果[q1]大约是[-π2，][±π2，][π2，][0，][0，][π2，][π2；]且[q2]大约是[-π2，][0，][-π2，][±π2，][0，][-π2，][-π2。]则：
[x1=x2x2=fi（x）+bi（x）u] （19）
[其中：][f1=1.077 8-0.686 1q2-10.963 7，b1=11.024 1-7.018 2q2-7.018 2q2111.010 9；]
[fi]和[bi]其他值略，[i=1，2，…，7。]
采用如图1所示的三角隶属函数实现输入量的模糊化。
设系统指令信号[q1d]和[q2d]分别为[q1d=sin（0.4πt）]和[q2d=sin（0.6πt）]；系统的初始状态为[x=[0.5，0.5，0，0]]。
采用本文设计的控制律式（10）对系统式（18）进行控制，控制系统参数设计如下：
[K1=100010，][K2=100010，][K3=1001，][K4=0.1000.1。]
当[w（t）=0]时，仿真结果如图2和图3所示。
当[w（t）=2sinq1+0.2q12sinq2+0.2q2]时，控制系统参数取值同上，仿真结果如图4和图5所示，其中虚线为期望信号，实线为实际信号。
从仿真结果可以看出，设计的模糊反演滑模控制器具有良好的跟踪性能和动态品质，在加入干扰项时，系统仍具有良好的性能，表明本文设计的控制律的有效性，并具有较强的鲁棒性。
4 结 论
反演法在处理系统不确定性尤其是非匹配不确定性方面有很大优势，是处理非匹配不确定系统的一种有效方法。本文讨论了一类具有非匹配不确定系统的控制问题，利用反演控制方法、模糊控制和滑模控制方法，克服了非匹配不确定性的影响，使系统具有较强鲁棒性的同时改善了系统的性能。从仿真结果可以看出，所设计的模糊反演滑模控制器具有良好的跟踪性能和动态品质，在加入干扰项时，系统仍具有良好的性能，表明本文设计的控制律的有效性，并具有较强的鲁棒性。
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