【摘要】为准确地描述聚氨酯弹性体材料属性，进而精确地预测聚氨酯制品的力学性能，从统计热力学方法和唯象法出发，采用试验和仿真分析相结合的方法，从各种类型的材料试验中收集数据，用若干组数据通过拟合方程，确立适合聚氨酯弹性体材料的本构关系。在聚氨酯弹性体数值分析和工程化应用中，该方法用于各种配方的聚氨酯弹性体本构关系研究均具有较好的适用性，有一定的借鉴意义。
【关键词】聚氨酯;本构关系
Abstract：To accurately describe the polyurethane elastomer material properties，and accurately predict the mechanical properties of polyurethane products，starting from the statistical thermodynamic method and the phenomenological method，adoptting the method of experiment and simulation analysis，experiment data is collected from various types of material，with several groups of data by fitting equation，this paper establishs the constitutive relation that is suitable for polyurethane elastomer material.In polyurethane elastomer numerical analysis and engineering application，this method that is applied to various formulations of polyurethane elastomer constitutive relation research has good applicability，and has a certain reference significance.
Key Words：polyurethane elastomer;the constitutive relation
聚氨酯弹性体是一种主链上含有较多氨基甲酸酯基团的高分子合成材料，其性能主要取决于不同的异氰酸酯基团、固化剂、软段聚合物、反应条件、相分离度以及链段间的相互作用等，其中某一因素的改变，将使聚氨酯性能随之发生改变[1]。在对各种配方制成的弹性体进行力学性能试验时发现，当聚氨酯弹性体承受较小的变形时，每种变形相对应的应力可以从传统的弹性分析中得到较好的近似，可以将其本构关系作为线性进行处理。但是在较大的变形情况下，聚氨酯弹性体具有典型的材料非线性，线性化的处理方法将导致计算精度的较大误差，不利于我们较为精确地预测聚氨酯制品的真实性能。因此，为准确地描述聚氨酯弹性体的特性，需要用应变能密度函数来表征其材料的非线性弹性行为。
1.聚氨酯弹性体的物理力学性能
聚氨酯弹性体具有橡胶类材料所共有的不可压缩或近似不可压缩的特性。在复杂的应力状态下，聚氨酯弹性体各个方向产生明显的变形，但是其总体积保持不变，利用这个特性对其各向变形加以限制，则不仅可以承受巨大载荷，还能充分发挥良好弹性的优点，这也是将聚氨酯弹性体应用于新型隔振产品的基础。
对于聚氨酯材料的性能，刘晓华对其耐热性能的影响因素进行了分析[2]，朱金华对聚氨酯弹性体的结构及动态力学性能进行了研究[3]，赵菲对其力学性能的影响因素进行了研究[4]。
鉴于聚氨酯弹性体优良的综合性能，本文对聚氨酯的材料配方进行了一系列研究，得到了满足隔振元件性能要求的聚氨酯弹性体材料配方，根据该配方制备了标准聚氨酯弹性体试样，试样尺寸符合相应国家标准[5-6]，对上述标准试件进行了拉伸、压缩应力应变性能的测定，试验过程中严格按照标准规范操作流程，部分试验结果如表1和表2所示。
2.超弹性材料的本构模型
2.1 基于统计理论的本构模型
最初成功地将统计理论应用于处理橡胶问题的是Kuhn，他导出了弹性模量和链的分子量之间的关系，但他没有将这一应力应变的关系式推广到大应变问题上去。Treloar将高斯统计理论应用于一种简单的长链分子网络模型[7]，得到了形式为的应变能密度函数，其中是Cauchy-Green应变张量的第一不变量，是橡胶材料常数。Treloar通过对含有8%硫磺的硫化橡胶进行试验得出，在小变形范围内，该函数可以较好地拟合单向拉伸试验，但是在大变形时，理论和试验相差较大。尽管如此，该本构方程提供了认识不同类型应变下应力应变曲线之间关系的基础，这种能处理任何类型应变的能力，是统计理论的突出功绩之一，对大弹性变形研究的发展产生了巨大的影响。
2.1.1 Arruda-Boyce本构模型
Arruda[8]等人通过模拟单轴拉伸试验，建立了Arruda-Boyce应变能密度函数，研究表明，该函数适用于全应变范围以及大应变时硬化的条件，但不适用于双轴拉伸试验。其表达式为：
其中：
N为单位体积内的总链数。该模型也叫做eight-chain模型，的值由热力学统计方法得出，代表初始的剪切模量即。表示锁死应变，出现在应力应变曲线最陡峭的地方，初始的体积模量为。Kaliske和Rothert的研究表明，这种体积应变能表达式适用于大部分工程弹性材料。
2.1.2 Van Der Waals本构模型
该模型定义的应变能密度函数为[9]：
其中：
是初始剪切模量，是保持伸长量，是整体相互参数，是不变混合参数，值控制压缩特性，这些参数都是温度函数。分别是第一、第二偏应变不变量。可以得到初始剪切模量及体积模量为：
基于统计热力学的这种方法一般用来解决橡胶分子网络的统计学长度、排列方向和结构，但是对于更大的应变范围存在不足，Shaw和Young指出这种统计学理论只适用于大约50%的应变[10]。
2.2 基于唯象理论的本构模型
为了得到超弹性材料一般性质的更为精确的数学表达式，可以借助“唯象”的处理方法，这是一种基于数学推理的方法，目的是寻找描述超弹性材料性质的最普遍或最简单的途径。唯象理论假定超弹性材料在未变形状态下是各向同性的，聚合物结构的长链分子的排列方向是无规律的，承受拉伸时会使其分子朝着拉伸方向校正排列方向，因此，假设在变形过程中各向同性仍然是有效的。此外，由于超弹性材料的体积弹性模量非常高，因此可假定材料具有不可压缩性。该方法构造了描述超弹性材料性能的力学框架，可以不考虑其微观结构或分子概念而解决应力分析和应变分析问题[11]。
2.2.1 Polynomial本构模型
多项式形式的应变能密度函数是常用的形式之一，该方程的表达式为[12]：
式中是多项式阶数，为同温度有关的材料参数，表示材料的可压缩程度。分别为第一、第二偏应变不变量，，表示变形后与变形前的体积比。可以得到初始剪切模量及体积模量为：。当时，此本构方程即Mooney-Rivlin方程，其表达式为：
如果函数中所有，则得到Reduced Polynomial本构模型：
2.2.2 Ogden本构模型
Ogden应变能密度函数的表达式为[13]：
其中和R同温度有关，可以看作是材料参数，数值由试验确定;，表示变形后与变形前的体积比，幂指数是能拟合完全非线性试验数据的任意实数。Ogden把上述公式应用到单向拉伸、等比双轴拉伸和纯剪切等试验数据上，对单向拉伸和纯剪切试验，采用二项的Ogden公式，除（下转第76页）（上接第57页）非在非常大的应变下出现显著的偏差，吻合程度较好。
2.2.3 Reduced Polynomial本构模型
该方程的表达形式为：
其中N是材料参数，是同温度有关的材料参数。为第一偏应变不变量。可以得到初始剪切模量及体积模量为：。当时，该本构方程即Neo-hookean方程，函数表达式为：
当时，该本构方程为Yeoh方程[14]，函数表达式为：
3.聚氨酯弹性体本构关系的确立
数值分析的精度是与输入的材料数据直接相关的，而材料数据应该来自一组独立的试验。聚氨酯弹性体基础试验的目的，是满足隔振产品建模及性能分析过程中材料非线性数学模型的输入要求[15]。为全面描述材料的非线性本构关系，获得较为精确和稳定的材料模型，必须对聚氨酯弹性体进行一系列基础试验，如果只进行单一类型的材料基础试验，通过该应变状态来确定材料的本构模型，那么当此模型用于其它无关的应变状态时，将会产生较大的偏差[16]。理想的做法是，从各种类型的独立试验中收集数据，用若干组数据通过回归方程，进而确立适合该种材料的本构模型。
基于ABAQUS有限元程序的材料评估模块，运用不同的应变能密度函数对试验得到的应力应变数据进行拟合。将拟合出的函数曲线与试验测试数据进行对比分析，考查两者的一致性，如果拟合出的应力应变曲线变化趋势与试验数据吻合较好，则表明该本构模型可以较为精确地描述材料的力学性能;当两者变化趋势相差较大时，则该模型不适合用于描述聚氨酯弹性体的力学性能，应对其他应变能密度函数拟合试验数据的误差进行分析，最终确定聚氨酯弹性体的本构模型。
分别运用各种本构模型，对单轴压缩和单轴拉伸试验数据进行拟合，拟合结果表明，在聚氨酯弹性体应变范围以内，多项式本构模型的二阶模型较好地描述了实际的试验应力应变情况，试验数据拟合本构方程情况如图1、2所示。因此，选用多项式本构模型的二阶模型，来描述该配方聚氨酯弹性体的本构关系。
图1 多项式本构模型拟合试验数据
图2 Ogden（N=6） 和多项式本构模型拟合拉伸试验数据
4.总结
按照材料配方制备了聚氨酯弹性体哑铃状和圆柱体试样，根据相应试验标准，对弹性体试件进行了拉伸和压缩性能试验，获得了能够较为准确描述聚氨酯弹性体力学性能的实验数据。采用试验和仿真分析相结合的方法，结合连续介质力学理论和统计热力学理论，深入研究各种本构模型应用于聚氨酯弹性体的适用性，最终确定能够良好描述其材料性能的本构模型。在聚氨酯弹性体数值分析和工程化应用中，该方法用于各种配方的聚氨酯弹性体本构关系研究均具有良好的适用性，有一定的借鉴意义。
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项目基金：三亚市院地科技合作项目（编号：2012YD46）;三亚市重点实验室项目（编号：L1305）。
作者简介：刘柏峰（1982—），男，硕士，工程师，研究方向：振动与噪声控制。
