《托马斯微积分》的特点及对中国高职教育的启示

医师和生理学家制定的圆管内液体层流速度的公式，并加入了两张医学上应用的关于血管造影术和血管成形术的原理图，得出了流体以固定的压力在单位时间内流过的细管的体积V等于一个常数乘以管半径r的四次幂，即V=kr4，问半径r增加10%对V的影响有多大？从数学的角度看，这个医学问题是用微分、导数来估计变化率，计算起来比较简单，但是这种跟实际问题紧密结合的数学问题让学生了解了医学，学会了数学，掌握了应用.类似的例子很多，如涉及几何背景的习题——最佳围栏规划、收集雨水、海报尺寸设计等；涉及物理应用的习题——矩形木质梁的强度、无摩擦的手车、马口铁害虫等；解决商业和经济学问题的习题——销售背包、旅游服务、极小化平均成本等； 医学领域的习题——对药物的敏感性、我们怎样咳嗽等等.

从例题到课后习题，都在实际问题的应用背景中讲解数学概念和原理，即通过解决现实问题来提高数学学习的目的性、趣味性，又拓宽了学生的知识视野，体现了数学理论的实践价值，对促进学生的学习积极性主动性大有裨益.

（二）“问题驱动式”的内容安排

美国教材的每个主题都从几何、数值、分析、语言四个方面进行阐明，应用阿基米德方法即“问题驱动式”的内容安排方式，尽可能地从实际问题出发，根据对实际问题的探究，自然而然的得出概念的定义与解决方法.这样更符合由易到难、由具体到抽象的思维认知规律.

例如P95讲变化率的问题：先讲解求平均速度、求瞬时速度的例题，用代数的方法确认瞬时速度，在几何上画图说明平均变化率就是割线的斜率，然后给出平均变化率的数学定义.再以一个实际问题“挡热罩的温度变化”着手，从这个具体的温度函数图像入手分析，顺理成章的得到温度的瞬时变化率，给出函数极限的非正式定义，进一步举例，然后给出极限的严格数学定义.托马斯教材中，极限的定义做了两次处理，从直观定义过渡到精确定义，教材处理较费时，但极限概念的两次处理方法有利于学生接受和教师教学时灵活处理.

（三）题型丰富、内容有趣、数量庞大

《托马斯微积分》大约有6000道练习题， 练习题量大但不同于我们认知中的那种题海，每一道题都有作者出题的意图，50%以上是关于实际应用的.美式教材的编者在习题配置和选材上颇费心思，题目风格多样.题目设计的指导思想：立意活泼，强调应用能力，有很多不那么 “正规”的数学题，内容和形式都很新颖，内容涉及面广，给人印象深刻.本文以《极限与连续》一章为例比较中美微积分教材中习题数量与质量的区别.

（四）尊重知识产权，重视数学史素养

在《托马斯微积分》中所有引述实例或者采纳有实际背景的资料都注明出处，真实可信，使学生对所学知识有真实感，也潜移默化地培养了学生尊重知识产权，养成写文章必须注明资料来源的良好习惯.重视数学史，重视数学素养教育.在教材所附光盘中，包含了微积分发展年表、微分方程发展专题，一百多位大数学家的传记.介绍杰出数学家，介绍数学发展的历程中每个阶段数学家们考虑的重大问题.有关历史的教学单元可以作为讲课的补充材料或用于学生的课外活动.这些教学单元是了解数学思想和数学方法来龙去脉、论述课题的极好原始材料.

二、《托马斯微积分》对中国高职数学教育的启发

（一）内容丰富，结构编排流畅.首先，国内微积分教材体系比较单一，内容趋同，美国教材提供了一类差别较大的参照教材，有较强的互补性；其次，美式教材内容的现代化、时代性、取材的丰富性、趣味性、内容的应用性（包括学科的交叉性）、习题配置的多样性等等都值得我们借鉴；最后，教材内容的立体化建设，美国同行提供了不少宝贵经验和得失，包括教学资源如何实现电子化、网络化，教学资源如何恰当使用，教材内容如何为现代教学手段搭建便利平台等.

我们的教材建设不仅应当考虑数学课程的知识性、系统性、逻辑性和应用性，还应考虑对学生的启发性，趣味性和探索性.对高职学生而言，教学内容中删减一些纯数学理论和代数运算的习题，增加有实际背景的习题，增加数值题、图形题、探索题、交叉题、与计算机结合的小课题等等.选好题、讲好题、用好题是教学中的重要环节，这一部分是吸引学生、培养学生兴趣的主要部分.最近，笔者看到一本应用性很强的高职教材《经济数学》（主编：刘洪宇，中国人民大学出版社出版，2012年），这本教材可操作性很强，是教材改革中出现的融知识性、趣味性于一体的好教材，但就例题习题的深度广度上还有改进的余地.

（二）重视应用，强调思维训练.数学学习是一种数学思维的培养过程.坚持数学教育主要是教会学生“数学的思维”.中国的职业教育一直提倡实践能力的培养，借鉴于美国微积分的教学内容，高职的数学教材要鲜活起来，调动学生的兴趣，让学生勤于动手，把数学建模思想融入到课本中，让学生的积极体验多一点，学习平台多一点，在合作中解决实际问题，从而形成一定的应用能力及实践能力.中小学数学改革正致力于从“学数学”到“做数学”的过程中，日本著名数学家小平邦彦在《一个数学家的妄想》中提出“数学是一门感觉的学问”.教材若能激发学生的数学感觉，学生主观能动性的发挥对学习数学是大有裨益的.我们高职教育能否更进一步，我想主要是从解决实际问题入手，在培养学生动手能力、提高学生职业发展潜力上下功夫.

（三）更新理念，重视专业融合.美国微积分教学没有全国统一的文件，但是看一下所谓AP计划所设定的一元微积分教学要求，大致反映了美国大学普通微积分的教学水平.中美教材中知识点要求基本差不多，但对教学内容的提法和要求与我们是有较大区别的.我们应注意更新教材内容，及时反映现代科技发展成果，不绝对强调统一教材统一指导，各院校根据自己的科研教学实际，有调整的完成微积分教学内容.我们应加强数学思维和方法，数学发展过程的讲解，只教会学生做纯粹的数学题毫无意义.我们要重视数学在现代科技进展中的应用，重视数学课程与专业课程的相互融合.这种侧重数学思想和方法，侧重解决实际问题的教学理念正是我院《经济数学与模型》课程改革的着力方向.

三、 结语

目前社会各行业都急需大量的高素质职业技术人才，国家对职业技术教育质量高度重视，高职数学教育要切合时代发展，以培养职业素养为导向，抓住数学内容的应用性与趣味性，有机的融入经济数学教学内容中.社会生活中的数学无处不在，找到数学和职业技术培养的切入点，改革后的高职数学课程将会给人耳目一新的感受.

【参考文献】

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