【摘 要】 数值分析是一门介绍科学计算的基础理论和数值方法的课程,它现已成为数学类专业以及大多数工科类专业的一门必修的数学类基础课程。本文分析了数值分析课程的特点,指出教学中存在的主要问题,并提出了一些相应的改革措施。
【关键词】数值分析 科学计算 信息与计算科学 教学改革
【中图分类号】G642.0 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)09(a)-0044-02
科学计算是伴随计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的一门新兴交叉学科,是数学及计算机实现其在高科技领域应用的必不可少的纽带和工具。科学计算的方法和理论为科学研究与技术创新提供了新的重要手段和理论基础,科学计算现已成为与实验和理论并重的第三种科学研究方法。数值分析又称数值计算方法,它作为介绍科学计算的基础理论和数值方法的课程,对培养学生的科学计算能力,解决实际问题的能力以及创新能力起着非常重要的作用。数值分析现不仅是综合性大学信息与计算科学专业、应用数学专业的必修课程,也是信息类专业、工科类专业(如土木工程,航天航空,机械工程等)的必修课程,因此在进入21世纪后,随着计算机技术的飞速发展,社会对科学计算人才需求的变化,对数值分析课程进行教学改革,进一步提高数值分析的教学质量和教学效果,以适应新形势下社会对人才的需求,变得尤为迫切。
1 课程的内容和特点
1.1 课程的内容
数值分析课程是以微积分、线性代数、常微分方程等课程的基本内容为基础,以算法设计为手段,以计算机为工具实现算法,全面地介绍了科学研究及生产实践中各领域所遇到的普遍的数学问题的数值方法和理论,因此它是所有与科学计算密切相关的专业的一门重要的基础课程。
数值分析课程的基本概念有:误差、收敛性、稳定性、插值、计算量、存储量等,这些概念是用来刻画数值方法的准确性、可靠性、效率以及计算复杂度;核心内容包括:代数问题数值计算、函数的数值逼近论、计算几何、微分方程数值解、最优化方法、统计计算等方面[1]。
1.2 课程的特点
数值分析作为大学本科阶段的一门数学基础课程,它具有下面的一些主要特点:
1.2.1 实践性强
上文已提到数值分析的核心内容是研究应用计算机对科学研究和实际应用中常见的数学问题进行数值求解的各种方法。这些方法除了理论上要正确可行外,还要求通过数值试验证明是有效的、实用的。因此,与其它数学类基础课程有所不同,数值分析课程很强调实践,要求学生在学习了每个算法后用学过的计算机语言编程或借助于一些数学软件,如Mathematica、Matlab,完成算法的计算机实现,这样学生不仅知道理论上是如何计算,而且还能把结果真正地计算出来。有些算法尽管在理论上不够严谨,但通过实际计算、对比分析等手段证明是行之有效的,在实际应用中也是可以采用的。
1.2.2 应用性强
数值分析中的理论与算法并不是都来源于纯粹的微积分、线性代数、常微分方程等课程,很大程度也是由于科学研究和实际工程计算的需要,可以说它来源于实际又应用于实际。一方面,目前很多算法已经在物理力学、生物信息、计算机应用、土木工程、航天航空、石油勘探、环境工程、材料等领域得到了广泛的应用;另一方面,数值方法在这些领域的应用过程中会产生一些新问题,为解决这些新问题,研究人员和技术人员深入研究、不断攻关,从而又会促进数值分析理论和算法的发展。
1.2.3 计算公式多且复杂,不好记忆
数值分析课程的许多算法或是采用“构造性”的方法,把计算公式具体构造出来,如Lagrange插值,Hermite插值等;或是采用“递推”方法,将复杂的计算过程化简为简单计算过程的多次重复,例如:求解线性方程组的Jacobi迭代法,Gauss-Seidel迭代法等,从而使得算法里出现的计算公式多且复杂,学生不好记忆。
2 数值分析课程教学中存在的问题
目前,在数值分析课程教学中普遍存在下面几个问题:
2.1 内容多,学时少
数值分析的内容非常丰富,包含代数问题数值计算、函数的数值逼近论、计算几何、微分方程数值解等,但学时数却不多,一般只有64/54,教师使用传统的教学方法讲授这些知识时,由于计算公式多且复杂,推导繁琐,不得不采用填鸭式教学,每节课都在讲新课,拼命赶进度,这种做法既忽视了学生这个主体的作用,使学生处于被动学习的状态,时间久了就会失去学习数值分析的兴趣,产生厌学情绪;同时也扼杀了学生学习的主动性、积极性和创造性。
2.2 重理论,轻实践
前面已提到数值分析是一门与计算机关系密切的实践性很强的课程,但在传统的教学模式中,教师通常只注重讲授算法原理、误差分析和收敛性证明等理论内容,忽略了上机实践环节。学生动手实践机会少,就会使学生不能彻底理解算法的原理与运用,只知道大概是“怎么算”,但不会真正把结果算出来,造成理论与实践的脱节;同时也会使学生感到数值分析的学习很抽象、枯燥、难学,以致学习兴趣不高。
2.3 缺乏带有上机实验内容的教材
数值分析课程是20世纪50年代末在我国一些综合性大学开始开设的,由于当时计算机的应用在我国刚开始起步,所以当时使用的数值分析教材基本上都没有上机实验内容的。人类社会进入21世纪后,计算机技术发展迅猛,许多复杂的计算能以惊人的速度在计算机上得到满意的计算结果,但作为介绍科学计算理论和数值方法的数值分析课程,其大部分教材没能适应时代的变化,还是沿用旧教材的内容结构,没有增加上机实验内容,这给教学带来很大的困难,直接影响了人才的培养。
3 课程教学改革
为全面贯彻落实科学发展观,切实把高等教育重点放在提高质量上,教育部和财政部于2007年先后颁布了《教育部财政部关于实施高等学校本科教学质量与教学改革工程的意见》和《教育部关于进一步深化本科教学改革全面提高教学质量的若干意见》。在这些纲领性文件指导下,全国高校掀起了一轮新的教学改革活动,数值分析课程的教学改革也开展得如火如荼并已取得一定成效(见文[2,3])。很多专业开设了数值分析课程,不同专业有不同的要求,有些要求相差很大,下面谈谈我校信息与计算科学专业的数值分析课程教学改革的一些措施和想法。
我校信息与计算科学专业是2006年开始招生。2006级学生的数值分析课程安排在第四学期。为了做好数值分析课程的建设工作,我们专门成立了数值分析课程建设小组。以下就是我们在数值分析课程教学改革的一些措施和想法:
3.1 选择合适的教材
对于信息与计算科学专业的学生来说数值分析是一门专业基础课,要求比其它专业高,既要掌握算法的应用,也要掌握算法的原理、误差分析、收敛性分析等理论知识,因此选取的教材应兼顾这两方面。我们采用了林成森新编的《数值分析》4. 该教材内容全面,阐述严谨、详细、深入浅出,且每个常用的算法都给出了伪程序。我们知道很多学生都怕编程,选择了该教材将有助于学生动手编程上机实现算法。
3.2 内容选取合理,突出重点
信息与计算科学专业的数值分析课程的课时是64学时,在这有限的学时内要详细地讲授所有的内容是不现实的,也是不可能的。我们必须对教学内容重新优化设计,要有侧重,以主带次。在课堂上有限的时间里力求讲明白一个主题,重点讲授典型的、具有代表性的并能体现其思想方法的常用算法和理论,而对那些原理相近的内容则可留给学生课后自学,使课堂讲授的内容真正做到“少而精”。例如:在讲授解线性方程组的Gauss消去法时,我们在课堂上重点详细地介绍了Gauss消去法和Gauss列主元消去法,学生在理解了这些方法的原理之后,再结合高等代数知识就很容易自学Gauss按比例列主元消去法和Gauss-Jordan消去法。
3.3 加强实践环节,提高科学计算能力
数值分析有别于其它数学类基础课程,它是一门与计算机结合密切的实践性很强的课程。由于课时紧张,在2006级的培养计划里数值分析课程没有安排上机实验课,但我们任课老师在讲授完每一章后都会布置一些上机实验题让学生自己编程上机运算(注:学生在第二学期已经学了C语言),并且要求把程序和实验结果交给老师批改。通过上机实验,使学生加强了对课堂内容的理解,同时又和计算机语言结合起来,自己编程,动手计算,使学生较好地掌握常用的科学计算方法和技巧,积累了解决实际问题的能力,而且也培养了学生质疑问题的能力和实践创新能力。这种做法很受学生欢迎。为了进一步提高上机实验的质量,我们打算在新的培养计划中增加9～12课时的上机实验课。
3.4 采用现代化教学手段
由于数值分析内容丰富,计算公式多且复杂,推导过程繁琐,所以我们采用了多媒体教学。这样可节省板书、画图的大量时间,教师有充足的时间把基本概念,算法构造的原理等重点内容讲透彻,而且在多媒体教学过程中还可以结合运用Mathematics,Matlab等数学软件演示算法的计算过程和结果,使学生加深对抽象知识的直观理解,从而提高了学生的学习兴趣和学习积极性。
3.5 积极编写新教材
由于在新的形势下数值分析课程的教育观念、教学要求以及教学内容已经发生了变化,所以教材的编写也应跟上时代发展的步伐。现虽然已有一些数值分析的新教材尝试了与计算机应用相结合,融进了Basic语言、C语言或Matlab数学软件编程实现算法的新内容,但大家认同的精品教材不多,因此仍需从事数值分析教学的同行们继续努力、不断改革、勇于创新,编写适合不同专业需求的新教材。由于合适的上机实验辅导教材奇缺,所以我们的课程建设小组已开始编写上机实验辅导教材,以解燃眉之急。
3.6 改革考核方法
考核是评估教学质量和学习效果的重要手段。数值分析传统的考试方法为笔试闭卷考试,主要是考察学生的识记能力,忽略了对学生编程上机实践的要求。在新的形式下,为提高大学生的应用能力和创新能力,我们对数值分析的考核方法进行了改革,把上机实验列入考核内容,即学生的期评成绩由笔试成绩、上机实验和平时成绩按比例确定。
4结语
我校信息与计算科学专业的数值分析课程建设起步晚,课程的教学改革仍需我们不断的探索与实践,我们也将继续努力,并借鉴兄弟院校该课程的教学改革经验,朝着精品课程目标建设数值分析课程。
参考文献
[1] 伍渝江,尤传华,丁方允.数值分析课程的继承与改革 [J].高等理科教育,2000,8(1): 46-49.
[2] 杜廷松.关于数值分析课程教学改革研究的综述和思考[J].大学数学,2007,23(2):8-15.
[3] 董立华.关于数值分析课程的教改实践[J].德州学院学报,2007,23(6):99-102.
[4] 林成森.数值分析[M].北京:科学出版社,2006.
