在信息量不断膨胀的当代社会，大量的数字充斥着人们的视野，处理和阅读数字背后信息的能力显得愈发重要，因此，微积分等高等数学课程在培养学生数学能力、提高数学素养方面的作用越来越受到肯定和重视。教材体现了微积分教育的理念，决定了微积分教学的内容，是微积分教学中不可忽视的一环。我国目前虽然每年都有不少重点教材、规划教材推出，然而大多数是经典数学理论体系和方法的简单重复和增删取舍，缺少实际应用，真正有新意的并不多。在此，笔者选取了中美两国的两本流传度较广的微积分教材，即美国最为畅销的微积分教材——James Stewart的《微积分》和国内经管类专业使用比较广泛的中国人民大学赵树嫄编著的《微积分》（第3版），并从两者的编写思想、内容呈现、习题设置等方面进行比较和分析，以期发现美国微积分教材中可资借鉴的地方，进而为我国的微积分教材改革提供一些参考。
数学内容的比较
Stewart版《微积分》主要内容包括：函数与模型、极限与导数、求导法则、微积分的应用、积分、积分的应用、积分方法、积分的进一步应用、微分方程、参数方程和极坐标、无穷序列与级数、向量与解析几何、向量函数、偏导数、多重积分、向量微积分、二阶微分方程等17个部分。而人大版《微积分》主要内容包括：函数、极限与连续、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、无穷级数、多元函数、微分方程与差分方程简介等9个部分。
从纯数学理论的角度来看，这两本教材比较接近，内容基本相同，这是非常自然的。因为这些内容本就是微积分数学理论体系和方法的核心内容，无论对哪个国家的学习微积分课程的学生来说都是必须具备的经典知识。然而从附加内容上来看，两本教材就存在着明显的差异了。Stewart版《微积分》在介绍数学内容的同时还把数学史、数学文化教育贯穿进来；将重要的概念和定理从产生的实际背景，到抽象定义，再到实际应用的过程中所经历的智慧、方法和趣事展现给学习者。如在介绍极限时，会在书页左侧的空白处插入“牛顿与极限”“柯西与极限”的小知识。这种如讲故事般轻松愉快的方式，既增加了学习的趣味性，也使学习者在学习的过程中容易看到微积分的时代背景、本质，对微积分“从何而来，是什么，能做什么”有更多的理解和认识，可以拥有更开阔的视野，为创造性思维打下基础。这个在国内教材中几乎很难看到。
编写理念的比较
Stewart版《微积分》和其它美国大多微积分教材一样强调对概念的理解，并通过四原则来实现——即阐述主题的“几何化、数值化、代数化和文字化”。如讲极限概念时，通过数值计算、图形演示的方式直观而自然地引出了极限的文字化定义，或者说直观定义，再以同样的方式给出大量的例子，甚至极限的运算法则。让学生首先对极限本质有了一个强烈的认识之后，再在后面的内容中进一步介绍极限的严格的代数化定义——ε-δ定义。强化了对极限这一概念本身的理解。
人大版《微积分》与我国其它大多数微积分教材一样更注重严格的逻辑证明和公式的推导，主要以代数化，辅以少量几何化的方式阐述数学内容，对于内容的数值化和文字化的表示则略去不提或一笔带过。仍以极限为例，人大版《微积分》通过两个数值的例子引出极限的直观定义后就直接进入到ε-δ定义，并将重点放在了用此定义证明极限上面。学生的注意力很快就从极限本身转向了公式的推导和证明。这导致不少学生在学完微积分后能证明和计算极限，却不能清晰地说出极限究竟是什么。
日本数学家米山国藏说：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受的数学知识因毕业进入社会后，几乎没有什么机会应用这些作为知识的数学，所以通常是出校门不到一两年很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么业务工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法和着眼点等，都随时随地发生作用，使他们受益终生。”在通识教育、素质教育的大背景下，转变和革新教学理念并将其体现在教材建设上来，是每一个数学教育工作者都应该深入思考的问题。
数学应用的比较
与国内教材相比，国外教材的一个突出的特点是把数学理论应用于解决实际问题。教材中的应用题习题量大、时效性强，选择的几乎都是最新的实际问题，内容涉及物理学、几何学、生物学、化学、医学、经济学、金融学、社会学、建筑学、地质学等，几乎包含了各个学科领域。而且时效性较强，不同的学科领域面广、量大，紧密结合了最新的实际问题。如Stewart《微积分》（第5版），第17页在讲到函数的表示方法时给出了Northridge地震的记录图；第210页在讲到导数刻画变化率的问题时，所引的例子为物理学上金属杆或金属片的线密度，化学中化学反应的反应速度，生物学中血液流动速度相对于血流到血管中心轴线距离的变化率，以及经济学中生产的边际成本；在讲到导数的应用问题时又介绍了对彩虹的形状、位置和颜色的数学解释。尽管这些问题从数学角度来看都只不过是关于某个指标的变化率，然而一旦和实际问题相联系，既增加了题目的趣味性，又拓宽了读者的知识面，价值大大增加了。
国内教材在应用方面多局限于微积分在物理、几何中的传统应用，而且所涉及到的数据也多是纯为解题而编造出来的，并非如国外教材一般多用的是现实生活中的真实数据。由于缺少时代气息和真实感，国内教材容易使学生感觉到自己与微积分距离十分遥远，从而影响了其学习积极性。实际上，微积分的一个显著特征是数学核心内容十分成熟稳定，但应用却越来越广泛。Stewart版《微积分》通过精选只涉及较为初等的数学知识而又能体现微积分思想和数学建模精神，能引起学生兴趣，又是学生在生活中可能会真实接触到的案例，训练了学生用数学解决实际问题的能力。近年来，国内教材在这方面有所改进，但做得仍然是很不够的。
学习方式的多样性比较
Stewart版《微积分》在引入数学主题的时候，经常先给出数值计算的近似结果，再尽量给出几何直观图，最后再给出严格的叙述。把数学理论和计算机技术有机结合，这是很多美国微积分教材的又一突出特点。这样做，既符合科学发现的规律，又给学生提供了利用近似计算解决工程等实际问题的范例。随着现代技术的发展尤其是计算机代数系统（CAS）的出现使计算机具有了多重联系表示系统，为教学提供了契机。在Stewart版《微积分》中穿插了大量的利用数学软件进行计算作图的问题，所做的图形精确漂亮，能使学生真实地感受到数学的美，增加了学习的兴趣。如第142页讲到无穷远的极限时，先给出数值计算的近似结果，然后给出了CAS画出的精确度比较高的直观图形，再给出严格的论证。学生也可以利用CAS强大的功能去解决很多计算问题，从而有更多时间去深入思考概念、基本理论和更复杂的例子，并应用到实际问题上。此外，网络技术的发展使微积分教材变得更加立体，Stewart版《微积分》随书附赠了两张CD-ROM，一张称为“TEC”（感受微积分），提供了一个实验环境，如同一个无声的老师，用探索、启发式的方法逐步引导学生分析并解决问题，还能链接到网络教学资源网站。另一张称为“Interacive Video Skillbulder”（交互学习微积分），包含有与微积分教学有关的视频与音频等。教学可以不再局限于课堂，教学时空得到了延伸。
人大版《微积分》在计算机技术的应用上体现得很少，只是把部分较简单的近似计算内容穿插在相应章节中，由于没有把这些计算和计算机结合，手工计算又很繁琐，因此在教学中要么不讲，要么一带而过，完全体现不出近似计算在实际应用中的重要价值。这一点对于工科和经管类专业的学生来说应该是个不小的遗憾。
例题和练习题设置的比较
Stewart版《微积分》习题的量很大，而且题目的类型也多，从概念复习题、判断题，到难度各别的计算题、证明题和应用题，一直到综合性较强的探索研究题，此外还有用CAS解决的各种练习，习题按节和章安排，每节的习题分为一般练习题（包含难度各异的计算题、证明题和应用题）和应用研究题，每章的总习题则分为概念题、基于概念的判断题、练习题和附加题（主要是一些难度或灵活性较大的题，或者是对某些教材内容进行推广的习题或探索性习题），层次分明，便于使用。在习题的选配上，Stewart版《微积分》具有以下几个特点：其一，每章都专门设计和集中编排了一些非常基本的概念题，以帮助学生学习和复习基本概念；其二，与基本概念和定理相结合的图形题不仅多而且设计精妙；其三，编排了一些不同数学学科之间的交叉题，有利于开阔学生的眼界，激发学习其它数学课程的兴趣；其四，应用题数量多、覆盖面广，所用数据都来自生产与生活实际，有很强的真实感，不少应用题及时反映了当代科技发展的新成果，贴近时代步伐；其五，有相当数量的使用计算机技术的习题；其六，注意习题的趣味性，增加习题对学生的吸引力。
人大版《微积分》习题按章安排，每章习题分为（A）、（B）两部分，（A）部分基本是难度各异的计算题，以及少量的证明题，某些章还有少量概念题和应用题；（B）部分均为选择题，以计算为主，有少量考查概念理解。
对比发现，中美微积分教材在习题的风格和设计的立意上有着明显差异。就风格而言，我国的教材习题类型比较单一，从数学上“加工”的比较正规，多为机械式的重复训练，相对比较枯燥；而美国教材的习题形式比较多样，有些题目是比较开放性的。就设计立意而言，我国教材的习题多以知识立意为主，立足于对所学知识进行复习、巩固和推广，比较严谨；而美国教材的不少习题立足于能力立意，更注重数学应用能力的培养，比较活泼。应该说两种风格和立意的习题各有优缺点，具有互补性。
结束语
总体来说，两种教材在基本的内容体系和知识点上差别不大，比较明显的差异在同样内容的不同呈现方式上。我国的教材大多比较注重符号的抽象表达、符号转换和公式推导，过于强调理论的严谨和数学语言的表述，通常忽视了浅显易懂的自然语言的运用。所以针对概念的数值、图像、符号、自然语言的不同表达，我国学生呈现出符号较强、图像稍弱、数值与语言最弱的趋势。这使得学生对抽象概念能暂时记住，会用于计算或证明，但对其中所包含的数学思想缺乏真正的理解，无法用来解决实际问题，时间一长自然就都忘却了。如果能借鉴美国微积分教材编写的“四原则”，以多种表征方式呈现知识，学生也许更容易接受抽象概念。适度使用计算机技术，使教材能够变得“立体”起来。加强对数学理论进行实际应用的内容，使学生真正明白微积分能做什么、怎样做，从而激发学生的学习兴趣。当然，我国的微积分教材也有自身的优势，如前后内容衔接紧密，条理清晰，重复少，在课时有限的情况下教师容易教学等。但是，在我国微积分教材总体趋同的现状之下，美国微积分教材为我们提供了一个新的思路和参照，有重要的借鉴作用。“他山之石，可以攻玉”，理科数学、工科数学、经济管理类数学、文科数学、职业教育的数学，不同层次的微积分教材大同小异，无非是经典内容的增删取舍，体现不出应有的差异性。
参考文献
[1]郭镜明，应明，朱小平.美国微积分教材中的习题配置特色[J].大学数学，2005（2）
[2]James Stewart著，白峰杉译.微积分（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2004
[3]赵树嫄.微积分（第三版）[M].北京：中国人民大学出版社，2007
（作者单位：中国劳动关系学院）
