下面是小编为大家整理的2023年度数学一真题答案解析,供大家参考。
数学一真题答案解析
2008 年考研数学一试题分析、详解和评注
一、选择题：(本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
x2
（1） 设
(A) 0.
(B) 1.
【函答案】应选(B).
(C) 2.
(D) 3．
【数详解】 f¢(x)= ln(2 + x2 )×2x= 2xln(2 + x2 )．
显然 f¢(x)在区间(-¥ ,+¥ )上连续，且 f¢(-1)· f¢(1)= (-2 ln 3)·(2 ln 3)< 0 ，由零 f
点定理(，知 f¢(x)至少有一个零点．
又x f¢¢(x)= 2 ln(2 + x2 )+ )
4x2 > 0 ，恒大于零，所以 f¢(x)在 (-¥ ,+¥ )上是单调递
2 + x2
增的．=又因为 f¢(0)= 0 ，根据其单调性可知， f¢(x)至多有一个零点．
故 f¢(x)有且只有一个零点．故应选(B).
ò
x
（2） 函数 f(x,y)= arctan 在点(0,1)处的梯度等于【 】
y
0
(A) i
(B) - i.
(C) j.
(D) - j .
【答案】 应选(A).
¶f y
y
【详解】因为 =
l
¶x 1+
x
y2
= x2 + y2
¶f
-
x y2
-x
．=
¶y
x2
1+
=
．
x2 + y2
y2
n
所以
(
¶f ¶x
(0,1)
= 1，
¶f ¶y
(0,1)
=
0
，于是gradf(x,y)
= i.故应选(A).
(0,1)
（3）2 在下列微分方程中，以 y= Cex+ C cos2x+ C sin 2x（C ,C ,C 为任意的常
123
数）为通解的是【 】
(A+) y¢¢¢+ y¢¢- 4y¢- 4y= 0 .
(B) y¢¢¢+ y¢¢+ 4y¢+ 4y= 0 .
(C) y¢¢¢- y¢¢- 4y¢+ 4y= 0 . 【t答案】 应选(D). d
)
(D) y¢¢¢- y¢¢+ 4y¢- 4y= 0 .
【详解】由 y= Cex+1 C cos22x+ C sin 2x3，可知其特征根为 l1 1 ，l2,3 = ±2 i，故对应的特征值方程为 ( 1)(l+ 2 )(l- 2 )= ( 1)( 2 + 4) = l3 + 4l l2 - 4 = l3 - l2 + 4l 4
所以所求微分方程为 y¢- y¢ 4y¢ 4y= 0 ．应选(D).
（4） 设函数 f(x)在 (-¥ ,+¥ )内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是【
】．
(A) 若{xn}收敛，则{f(xn)} 收敛
(B) 若{xn}单调，则{f(xn)} 收敛
(C) 若{f(xn)} 收敛，则{xn}收敛.
【答案】 应选(B).
(D) 若{f(xn)} 单调，则{xn}收敛.
【详解】若{xn}单调，则由函数 f(x)在 (-¥ ,+¥ )内单调有界知，若{f(xn)} 单调有界，
因此若{f(xn)} 收敛．故应选(B).
（5） 设 A为 n阶非零矩阵，E为 n阶单位矩阵．若 A3 = 0 ，则【
】
则下列结论正确的是：
(A) E- A不可逆，则 E+ A不可逆. (C) E- A可逆，则 E+ A可逆.
【答案】应选(C). 【详解】故应选(C).
(B) E- A不可逆，则E+ A可逆. (D) E- A可逆，则E+ A不可逆.
(E- A)(E+A+ A2)= E- A3= E， (E+ A)(E-A+ A2)= E+ A3= E．
故E- A， E+ A均可逆．故应选(C).
æxö
（6） 设 A为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(x y z)Açy÷ = ççè1z在÷÷ø正交变换下的标
准方程的图形如图，则 A的正特征值个数为【
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
】 (D) 3.
【答案】 应选(B).
x2 【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为 a2 -
y2+ z2 c2
1 ．故 A的
正特征值个数为 1．故应选(B).
（7） 设随机变量 X,Y独立同分布且 X 的分布函数为F( )，则Z= m ax X, }的分布
函数为【 】
(A) F2( ).
(B) F( )F( ). (C) 1 [ - F( )]2. (D)
[1 - F( )] - F( )].
【答案】应选(A)．
【详解】F( )= P(Z£ z)= P{
ax X, }£ }
= P(X £ z) (Y£ z)= F( )F( )= F2( )．故应选(A)．
（8） 设随机变量 X : N(0,1), Y : N(1,4), 且相关系数rXY
1 ，则【 】
(A) P{Y = -2X 1} 1
(B) P{Y = 2X 1} 1
(C) P{Y = -2X 1} 1
【答案】应选 (D)．
【详解】用排除法．设Y = aX + b．由rXY
(D) P{Y = 2X 1} 1 1 ，知 X ，Y正相关，得a> 0 ．排除
（A）和（C）．由 X : N(0,1)，Y: N(1,4)，得
EX = 0,EY 1,E(aX + b)= aEX + b． 1 = a´ 0 + b，b 1 ．从而排除(B).故应选 (D)．
二、填空题：(9－14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.)
（9） 微分方程xy¢+y= 0满足条件 y(1)=1的解是 y=
.
1 【答案】 应填 y= ．
x
dy y dy dx 【详解】由 = - ，得 = - ．两边积分，得 ln |y|= - ln |x|+C．
dx x y x
代入条件 y(1)= 1 ，得C = 0 ．所以 y= 1 ． x
（10） 曲线 sin(xy)+ ln(y- x)= x在点 (0,1)的切线方程为
.
【答案】 应填 y= x+ 1．
【详解】设F(x,y)= sin(xy)+ ln(y- x)- x，则
F (x,y)= ycos(xy)+ -1 - 1， F (x,y)= xcos(xy)+
，
x
y- x
x
y- x
F (0,1)= -1， F (0,1)= 1．于是斜率 k= - x F¢(0,1) = 1．
x
y
F¢y(0,1)
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